Equivalenza al modello LEN

La posizione di partenza è un modello agente principale con informazioni incomplete (rischio morale) e le seguenti proprietà:

Utilità agente: $u(z)=-e^{(-r_az)}$
Utilità principale: $B(z)=-e^{(-r_pz)}$
Livelli di sforzo $e\in \Bbb R$
Risultati $x\in \Bbb R, x\sim N(\mu(e), \sigma), \mu'(e)>0, \mu''(e)\le0$
Contratto: $w(x)=a+bx$ ,

dove $r_A$ e $r_P$ è la misura Arrow – Pratt di avversione al rischio assoluta rispettivamente per l'agente e il principale.

Sto cercando il contratto ottimale per il principale da offrire all'agente quando lo sforzo dell'agente non è visibile. L'utilità dell'entità principale può essere scritta come segue:

U^{P} (e, a, b) = \int_{- \infty}^{\infty} - e^{(- r_{P} ((1 - b) x - a))} f (x ∣ e) d x

$U^P(e,a,b)=\int_{-\infty}^\infty-e^{(-r_P((1-b)x-a))}f(x\mid e) \, dx$

Voglio dimostrare che vale la seguente equivalenza, il che significa che la massimizzazione dell'utilità del principale può essere scritta come RHS della seguente equivalenza:

max_{e, a, b} \int_{- \infty}^{\infty} - e^{(- r_{P} ((1 - b) x - a))} f (x ∣ e) d x \Leftrightarrow max_{e, a, b} (1 - b) μ (e) - a - \frac{r_{P}}{2} (1 - b)^{2} σ^{2}

$\max_{\rm e,a,b}\int_{-\infty}^\infty-e^{(-r_P((1-b)x-a))}f(x\mid e) \, dx \Leftrightarrow \max_{\rm e,a,b}(1-b)\mu(e)-a-\frac{r_P}2(1-b)^2\sigma^2$

dove è la funzione di densità di una normale variabile casuale , con valore atteso e varianza . $f(x|e)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{(-\frac{1}2(\frac{x-\mu(e)}\sigma)^2)}$ $x\sim N(\mu(e),\sigma)$ $\mu(e)$ $\sigma>0$

Ho provato a usare la forma esplicita di in LHS, manipolarla un po 'e poi itegrare ma non sono riuscito a ottenere l'equivalenza. $f(x|e)$

expected-utility asymmetric-information principal-agent

— Fusscreme
fonte

Il punto principale è che l'utilità attesa del principale da un payoff subordinato a un certo livello di sforzo può essere scritta come $z$ $e$

E [z | e] - \frac{r_{p}}{2} Var (z | e) .

$\text{E}[{z}|e] - \frac{r_p}{2}\text{Var}(z|e).$

In altre parole, poiché la ricchezza è normalmente distribuita, l'utilità esponenziale ha una semplice rappresentazione della "varianza media". Per una derivazione, vedi qui .

Presumo che il payoff del principale sia uguale a . È quindi semplice calcolare la media (condizionata) e la varianza di : $z$ $x - w(x) = (1 - b)x - a$ $z$

E [z | e] = (1 - b) E [x | e] - E [a] = (1 - b) μ (e) - a,

$\text{E}[z|e] = (1 - b)\text{E}[x|e] - \text{E}[a] = (1 - b)\mu(e) - a,$

Var [z | e] = (1 - b)^{2} Var (x | e) - Var (a) = (1 - b)^{2} σ^{2} .

$\text{Var}[z|e] = (1 - b)^2 \text{Var}(x|e) - \text{Var}(a)= (1 - b)^2\sigma^2.$

Ne consegue che l'utilità attesa del principale può essere scritta come

(1 - b) μ (e) - a - \frac{r_{p}}{2} (1 - b)^{2} σ^{2} .

$(1 - b)\mu(e) - a - \frac{r_p}{2}(1 - b)^2\sigma^2.$