Quale approssimazione di Taylor viene utilizzata in questa equazione?

Nel libro di teoria macroeconomica di Wickens, a pagina 48 (prima edizione), l'autore afferma che facendo un'approssimazione di Taylor otteniamo il seguente risultato.

Perché? Quale approssimazione ha usato?

Ne ho provati diversi per linearizzare la frazione attorno a questi valori, ma non ottengo lo stesso ...$\frac{(1+\eta)^{\sigma}}{\beta}$

Anche se la tua domanda non consente una risposta definitiva, sono abbastanza sicuro che l'autore abbia usato un'espansione di Taylor attorno al logaritmo di entrambi i lati dell'equazione. Questo processo è chiamato log-linearizzazione ed è abbastanza comune.

Possiamo approssimare (registrare) i tassi di crescita come quando è piccolo. (e dalle regole del logaritmo: $x \approx log(1+x)$$x$$\log((1+x)^\sigma ) \approx\sigma x$

Riscrivere l'equazione $1+(r_t-\delta)=(1+\eta)^{\sigma}(1+\theta)$

dove $r_t=\alpha (k^{\# *})^{\alpha -1}$

e l'applicazione di questa regola dà

$r_t-\delta=\theta+\sigma \eta$

che dà il risultato desiderato.