Nella teoria Advanced Microeconomic di Jehle e Reny c'è una dimostrazione del teorema che afferma l'esistenza della funzione di utilità.
Per provare l'esistenza di una funzione di utilità $ u (\ mathbf {x}) $ che rappresenta la relazione binaria $ \ succeq $ se è completa, transitiva, continua e strettamente monotona, si suggerisce di considerare una mappatura
$ u: \ mathbb {R _ + ^ n} \ to \ mathbb {R} $ tale che $ u (\ mathbf {x}) e \ sim \ mathbf {x} $ è soddisfatto, dove $ \ mathbf {x} $ è un pacchetto, $ u (\ mathbf {x}) $ è un numero e $ \ mathbf {e} $ è un pacchetto che contiene uno di ogni bene.
Così primo dobbiamo dimostrare che esiste sempre un tale numero $ u (\ mathbf {x}) $. Per fare ciò, considera due serie:
$ A \ equiv \ {t \ geq 0 \ mid t \ mathbf {e} \ succeq \ mathbf {x} \} $
$ B \ equiv \ {t \ geq 0 \ mid t \ mathbf {e} \ preceq \ mathbf {x} \} $
se $ t ^ * \ in A \ cap B $, poi $ t ^ * \ mathbf {e} \ sim \ mathbf {x} $, quindi dobbiamo mostrare che $ A \ cap B $ non è vuoto.
La continuità di $ \ succeq $ implica che sia A sia B siano chiusi in $ \ mathbb {R _ +} $. Con una monotonia rigorosa, $ t \ in A $ implica $ t '\ in A, $ $ \ forall $ $ t' \ geq t $. Quindi $ A = [\ underline {t}, \ infty) $. Allo stesso modo $ B = [0, \ overline {t}] $
Per ogni $ t \ geq 0 $, la completezza di $ \ succeq $ implica che $ t \ mathbf {e} \ succeq \ mathbf {x} $ o $ t \ mathbf {e} \ preceq \ mathbf {x} $, Ad esempio, $ t \ in A \ cup B $
$ \ mathbb {R_ +} = A \ cup B = [0, \ overline {t}] \ cup [\ underline {t}, \ infty) $.
Quindi per $ A \ cap B $ essere non vuoto dovrebbe essere $ \ underline {t} \ leq \ overline {t} $.
Ma è sempre così? Non riesco a capire perché l'ultima disuguaglianza dovrebbe rimanere sempre.