Linearizzazione del log dell'equazione di Eulero con un termine di aspettativa

10

Ci sono alcune risorse online disponibili per aiutare con la linearizzazione dei registri (ad es. Qui o qui ). Tuttavia, la linearizzazione del registro in cui è coinvolta un'aspettativa è un po 'complicata perché il registro non può semplicemente "passare attraverso" l'operatore delle aspettative. Qualcuno potrebbe aiutare con l'algebra in questo esempio?

Ho l'equazione di Eulero (equazione 1) dove . Sto cercando di ottenere un'espressione per il tasso privo di rischio e un'espressione per il premio azionario. Come devo fare per fare questo?

1 = E_{t} [{δ {(\frac{C_{t + 1}}{C_{t}})}^{- 1 / ψ}}^{θ} {\frac{1}{1 + R_{m, t + 1}}}^{1 - θ} 1 + R_{i, t + 1}]

$1 = E_t \left [ \left \{ \delta \left (\frac{C_{t+1}}{C_t} \right )^{-1/\psi} \right \}^\theta \left \{ \frac{1}{1 + R_{m,t+1}} \right \}^{1 - \theta} 1 + R_{i, t+1} \right ]$

θ = (1 - γ) / (1 - 1 / ψ)

$\theta = ( 1 -\gamma)/(1 - 1/\psi)$

Sembra dal secondo link sopra che dovrei iniziare sostituendo le variabili di interesse in questo modo . Quindi seguendo i passaggi indicati, sembra che dovrei arrivare a (equazione 2) $C_t = c e^{\tilde C_t}$

\begin{aligned} 1 = E_{t} [{δ {(\frac{{\tilde{C}}_{t + 1} + 1}{{\tilde{C}}_{t} + 1})}^{- 1 / ψ}}^{θ} {\frac{1}{(1 + R_{m}) [\tilde{(1 + R_{m, t + 1})} + 1]}}^{1 - θ} \cdot \cdot [(1 + R_{i}) [\tilde{(1 + R_{i, t + 1})} + 1]]] . \end{aligned}

$\begin{align} 1 = E_t \left [ \left \{ \delta \left (\frac{\tilde C_{t+1} + 1}{\tilde C_t + 1} \right )^{-1/\psi} \right \}^\theta {} \left \{ \frac{1}{(1 + R_m)[\widetilde{(1 + R_{m,t+1})} + 1]} \right \}^{1 - \theta} \cdot \\ \cdot [(1 + R_i)[\widetilde{(1 + R_{i, t+1})} + 1]] \right ]. \end{align}$

Ma dove vado da qui?

MODIFICARE:

Ho copiato l'equazione 1 direttamente dalle note che ho. È probabile che il termine a destra, , sia tra parentesi . Nel mio tentativo iniziale di linearizzazione dei tronchi l'ho trattato in questo modo. $1 + R_{i,t+1}$ $(1 + R_{i,t+1})$
Nell'equazione 2, ho seguito i passaggi delle istruzioni che possono essere trovati nel secondo collegamento all'inizio. Quindi, e senza sottoscrizioni temporali sono questi valori allo stato stazionario. $R_i$ $R_m$
$R_m$ è il rendimento sul portafoglio di mercato e è il rendimento sull'asset . $R_i$ $i$

MODIFICA 2:

Grazie per i commenti utili. Quindi, da quello che ho raccolto finora, dovrei ottenere qualcosa del genere:

\begin{aligned} 1 & = E_{t} [δ^{θ} (1 - \frac{θ}{ψ} ({\tilde{C}}_{t + 1} - {\tilde{C}}_{t}) (1 + R_{m})^{θ - 1} (θ - 1) (1 + {\tilde{R}}_{m, t} \frac{R_{m}}{1 + R_{m}}) \\ \cdot (1 + R_{i}) ((1 + {\tilde{R}}_{i, t} \frac{R_{i}}{1 + R_{i}})] \end{aligned}

$\begin{align} 1 &= E_t \left [ \delta^\theta (1 - \frac \theta \psi (\tilde C_{t+1} - \tilde C_t ) (1 + R_m)^{\theta - 1} (\theta - 1) \left ( 1 + \tilde R_{m,t} \frac{R_m}{1 + R_m} \right ) \right .\\ & \left . \, \cdot (1 + R_i) \left ( (1 + \tilde R_{i,t} \frac{ R_i}{1 + R_i} \right ) \right ] \end{align}$

Quindi ciò implicherebbe che il tasso privo di rischio si trova come segue:

\begin{aligned} 1 & = E_{t} [δ^{θ} (1 - \frac{θ}{ψ} ({\tilde{C}}_{t + 1} - {\tilde{C}}_{t}) (1 + R_{m})^{θ - 1} (θ - 1) (1 + {\tilde{R}}_{m, t} \frac{R_{m}}{1 + R_{m}}) (1 + R_{f})] \\ 1 & = E_{t} [m_{t + 1} (1 + R_{f})] \\ \frac{1}{E_{t} [m_{t + 1}]} & = 1 + R_{f} . \end{aligned}

$\begin{align} 1 &= E_t \left [ \delta^\theta (1 - \frac \theta \psi (\tilde C_{t+1} - \tilde C_t ) (1 + R_m)^{\theta - 1} (\theta - 1) \left ( 1 + \tilde R_{m,t} \frac{R_m}{1 + R_m} \right ) (1 + R_f) \right ] \\ 1 &= E_t[ m_{t+1} (1 + R_f)] \\ \frac{1}{E_t[m_{t+1}]} &= 1 + R_f. \end{align}$

È corretto? E ora, per finire la domanda, come troverei il premio azionario?

macroeconomics asset-pricing

— ethan1410
fonte

Sono in fuga, ma hai accesso al libro di Gali? Penso che lo faccia ampiamente,

— Iirc

No. È il suo libro sulla politica monetaria in cui verrebbe inserito? "Politica monetaria, inflazione e ciclo economico?"

— ethan1410

L'ultima uguaglianza che hai dato (1 rispetto al tasso privo di rischio è uguale alle aspettative del sdf) è sempre vera, quindi questo è un buon segno. Per trovare il premio azionario, trova il prezzo per , il valore di un credito sul mercato, quindi sottrai il prezzo del rendimento privo di rischio: 1.

E_{t} [m_{t + 1} (1 + R_{m})]

$E_t[m_{t+1}(1+R_m)]$

— jayk

4

Ignoriamo per il momento l'esistenza del valore atteso. Se si trattasse di un set-up deterministico, la linearizzazione attraverso la registrazione dei registri sarebbe semplice e senza i trucchi dei collegamenti forniti dall'OP. Prendendo tronchi naturali su entrambi i lati della prima equazione otteniamo:

\begin{matrix} (1) & 0 = θ \ln δ - \frac{θ}{ψ} \ln (\frac{C_{t + 1}}{C_{t}}) - (1 - θ) \ln (1 + R_{m, t + 1}) + \ln (1 + R_{i, t + 1}) \end{matrix}

$0 = \theta \ln \delta-\frac {\theta}{\psi}\ln \left (\frac{C_{t+1}}{C_t} \right )-(1-\theta) \ln(1 + R_{m,t+1}) + \ln (1 + R_{i, t+1}) \tag{1}$

Impostato

\begin{matrix} (2) & {\hat{c}}_{t + 1} = \frac{C_{t + 1} - C_{t}}{C_{t}} \Rightarrow \frac{C_{t + 1}}{C_{t}} = 1 + {\hat{c}}_{t + 1} \end{matrix}

$\hat c_{t+1} = \frac{C_{t+1}-C_t}{C_t} \Rightarrow \frac{C_{t+1}}{C_t} = 1+\hat c_{t+1} \tag{2}$

Inoltre, si noti che è un'approssimazione standard scrivere a almeno per . Di solito questo è il caso dei tassi di crescita e dei tassi finanziari, quindi otteniamo $\ln (1+a) \approx a$ $|a|<0.1$

\begin{matrix} (3) & 0 = θ \ln δ - \frac{θ}{ψ} {\hat{c}}_{t + 1} - (1 - θ) R_{m, t + 1} + R_{i, t + 1} \end{matrix}

$0 = \theta \ln \delta-\frac {\theta}{\psi}\hat c_{t+1} -(1-\theta) R_{m,t+1} + R_{i, t+1} \tag{3}$

che è una chiara relazione dinamica che collega le tre variabili presenti. Se nel modello, lo stato stazionario è caratterizzato da consumi costanti e rendimenti costanti, allora avremo e quindi la relazione di stato stazionario sarà $\hat c_{t+1} =0$

\begin{matrix} (4) & R_{i} = - θ \ln δ + (1 - θ) R_{m} \end{matrix}

$R_{i} = - \theta \ln \delta + (1-\theta) R_{m} \tag{4}$

Ma abbiamo fatto tutto ciò ignorando il valore atteso. La nostra espressione è , non solo . Inserisci l'espansione Taylor del primo ordine di . Abbiamo bisogno di un centro di espansione. Rappresenta le quattro variabili semplicemente con (non fa male che una variabile con -index sia presente in ). Scegliamo di espandere la funzione attorno a . Così $E_t\left[f\left(C_t, C_{t+1},R_{m,t+1},R_{i,t+1} \right)\right]$ $f\left(C_t, C_{t+1},R_{m,t+1},R_{i,t+1} \right)$ $f()$ $\mathbf z_{t+1}$ $t$ $\mathbf z_{t+1}$ $E_t(\mathbf z_{t+1})$

\begin{matrix} (5) & f (z_{t + 1}) \approx f (E_{t} [z_{t + 1}]) + \nabla f (E_{t} [z_{t + 1}]) \cdot (z_{t + 1} - E_{t} [z_{t + 1}]) \end{matrix}

$f\left(\mathbf z_{t+1}\right) \approx f\left(E_t[\mathbf z_{t+1}]\right) + \nabla f\left(E_t[\mathbf z_{t+1}]\right)\cdot \big(\mathbf z_{t+1}-E_t[\mathbf z_{t+1}]\big) \tag{5}$

Poi

\begin{matrix} (6) & E_{t} [f (z_{t + 1})] \approx f (E_{t} [z_{t + 1}]) \end{matrix}

$E_t\left[f\left(\mathbf z_{t+1}\right)\right] \approx f\left(E_t[\mathbf z_{t+1}]\right) \tag{6}$

Ovviamente questa è un'approssimazione, cioè ha un errore, anche se solo a causa della disuguaglianza di Jensen. Ma è una pratica standard. Quindi vediamo che tutto il lavoro precedente che abbiamo fatto sulla versione deterministica, può essere applicato nella versione stocastica inserendo valori attesi condizionati al posto delle variabili. Quindi eq. è scritto $(3)$

\begin{matrix} (7) & 0 = θ \ln δ - \frac{θ}{ψ} E_{t} [{\hat{c}}_{t + 1}] - (1 - θ) E_{t} [R_{m, t + 1}] + E_{t} [R_{i, t + 1}] \end{matrix}

$0 = \theta \ln \delta-\frac {\theta}{\psi}E_t[\hat c_{t+1}] -(1-\theta) E_t[R_{m,t+1}] + E_t[R_{i, t+1}] \tag{7}$

Ma dove sono i valori di stato stazionario ? Bene, i valori di stato stazionario in un contesto stocastico sono un po 'complicati: stiamo sostenendo che le nostre variabili (che ora sono trattate come variabili casuali) diventano costanti ? O c'è un altro modo per definire uno stato stazionario in un contesto stocastico?

Ci sono più di un modo. Uno di questi è lo "stato costante di previsione perfetta", in cui prevediamo perfettamente un valore non necessariamente costante (questo è il concetto di "equilibrio come aspettative soddisfatte"). Questo è ad esempio usato nel libro di Jordi Gali menzionato in un commento. "Lo stato stazionario di previsione perfetta" è definito da

\begin{matrix} (8) & E_{t} (x_{t + 1}) = x_{t + 1} \end{matrix}

$E_t(x_{t+1}) = x_{t+1} \tag{8}$

In base a questo concetto, l'eq. diventa eq. che è ora l'equazione "stato stocastico di previsione perfetta" della previsione economica. $(7)$ $(3)$

Se vogliamo una condizione più forte, dicendo che le variabili diventano costanti allo stato stazionario, allora è anche ragionevole sostenere che, di nuovo, la loro previsione alla fine sarà perfetta. In tal caso, lo stato stazionario dell'economia stocastica è lo stesso di quello dell'economia deterministica, vale a dire l'eq. . $(4)$

— Alecos Papadopoulos
fonte

@jmbejara Questo è perfettamente corretto . È il valore atteso dell'approssimazione di Taylor del primo ordine troncata di una funzione. Non sei d'accordo con quello? Se la consideri un'approssimazione non ottimale , è un'altra questione e ha a che fare con quali criteri usi per giudicare la qualità e l'adeguatezza dell'approssimazione.

— Alecos Papadopoulos,

Ok. Tu hai un punto. Ma, come dici tu, non sono sicuro di quale sia la cosa migliore nella situazione. Ma sembra certamente che ci siano diversi modi per farlo. C'è sicuramente qualcosa da dire sul pregiudizio, ma hai sollevato un buon punto. Annullerò il voto non appena me lo permetterà.

— jmbejara,

3

L'approssimazione corretta è . Questo è imparziale, mentre non lo è. Per vedere questo, progetto su , dove la "barra" rappresenta l'operatore delle aspettative. Quindi, approssimativo Questa approssimazione è esatta quando è normalmente distribuito (dal lemma di Stein). $f(x) \approx E[f(x)] + E[f'(x)] (x - E[x])$ $f(x) \approx E[f(x)] + f'(E[x]) (x - E[x])$ $f(x) - \overline{f(x)}$ $x - \bar x$

\frac{Cov (f (x), x)}{Var(x)} \approx E [f^{'} (x)] .

$\frac{\text{Cov}(f(x), x)}{\text{Var(x)}} \approx E[f'(x)].$

x

$x$

MODIFICARE:

Per chiarimenti, vedi che la proiezione di su ci dà , dove e . Se usiamo il lemma di Stein per approssimare come descritto sopra, ci resta che è imparziale, D'altra parte, $f(x) - \overline{f(x)}$ $x - \bar x$ $f(x) - \overline{f(x)} = \beta (x - \bar x) + \epsilon$ $E[\epsilon] = E[\epsilon x] = 0$ $\beta = \frac{\text{Cov}(f(x), x)}{\text{Var(x)}}$ $\beta$

f (x) \approx E [f (x)] + E [f^{'} (x)] (x - \bar{x}) + ϵ,

$f(x) \approx E[f(x)] + E[f'(x)] (x - \bar x) + \epsilon,$

E [ϵ] = 0.

$E[\epsilon] = 0.$

E [f (E [x]) + f^{'} (E [X]) (x - E [x])] = f (E [x]) \neq E [f (x)] .

$E[f(E[x]) + f'(E[X]) (x - E[x])] = f(E[x]) \neq E[f(x)].$

— jmbejara
fonte

Sarebbe utile se si potesse includere nella risposta la derivazione dettagliata dell'approssimazione .

f (x) \approx E [f (x)] + E [f^{'} (x)] (x - E [x])

$f(x) \approx E[f(x)] + E[f'(x)] (x - E[x])$

— Alecos Papadopoulos,

Grazie per aver migliorato la tua risposta. Per stare vicino alla domanda, l'OP ha una funzione e vuole manipolarne il valore atteso. Quindi dovrebbe risolvere l'espressione che scrivi per e ottenere

f (x)

$f(x)$

E [f (x)]

$E[f(x)]$

E [f (x)] \approx f (x) - \frac{Cov (f (x), x)}{Var (x)} \cdot [x - E (x)] ?

$E[f(x)] \approx f(x) - \frac {\text{Cov}(f(x),x)}{\text{Var}(x)}\cdot [x-E(x)]?$

— Alecos Papadopoulos,

3

Il tuo problema sembra un'equazione di asset-pricing con preferenze ricorsive (Epstein-Zin). Se interessati ai prezzi delle attività, bisogna stare attenti alla consueta linearizzazione "macroeconomica". Tale approssimazione equivale alla certezza, il che significa che i coefficienti della soluzione linearizzata non dipendono dalla dimensione degli shock. Inoltre, tutte le variabili nella soluzione linearizzata fluttueranno attorno ai loro stati stazionari deterministici. Di conseguenza, i premi per il rischio sono zero, il che tipo di sfida al punto.

Una soluzione consiste nell'utilizzare metodi di perturbazione di ordine superiore (2 ° ordine per ottenere premi a rischio costante, 3 ° ordine per premi variabili nel tempo). Questo è facile da fare con il software esistente (ad es. Dynare) se si desidera risolvere il modello in modo numerico comunque (nel qual caso non è necessario linearizzare manualmente). Se invece si preferisce una soluzione analitica (approssimativa), il modo abituale è di linearizzare la dinamica delle quantità (ad es. La crescita dei consumi), quindi ottenere i prezzi delle attività direttamente dall'equazione di Eulero, calcolando le aspettative usando l'assunzione di lognormalità, come in Bansal & Yaron (2004) .

Ad esempio, se le variabili minuscole sono registri, la solita equazione di Eulero può essere riscritta come

1 = E_{t} [\exp (m_{t + 1} + r_{t + 1})]

$1 = E_t [\exp(m_{t+1} + r_{t+1})]$

Se sono (condizionalmente) congiuntamente normali, quanto sopra $m_{t+1},r_{t+1}$

\begin{matrix} (1) & 0 = E_{t} [m_{t + 1}] + E_{t} [r_{t + 1}] + \frac{1}{2} {V a r_{t} [m_{t + 1}] + V a r_{t} [r_{t + 1}] + 2 C o v_{t} [m_{t + 1}, r_{t + 1}]} \end{matrix}

$0 = E_t[m_{t+1}] + E_t[r_{t+1}] + \frac{1}{2} \left\{ Var_t[m_{t+1}] + Var_t[r_{t+1}] + 2 Cov_t[m_{t+1},r_{t+1}] \right\} \tag{1}$

Il tasso privo di rischio deve soddisfare , oppure $\exp(-r^f_t) = E_t[\exp(m_{t+1})]$

r_{t}^{f} = - E_{t} [m_{t + 1}] - \frac{1}{2} V a r_{t} [m_{t + 1}]

$r^f_t = -E_t[m_{t+1}] - \frac{1}{2} Var_t[m_{t+1}]$

e quindi dobbiamo avere

E_{t} [r_{t + 1}] - r_{t}^{f} + \frac{1}{2} V a r_{t} [r_{t + 1}] = C o v_{t} [m_{t + 1}, r_{t + 1}]

$E_t[r_{t+1}] - r^f_t + \frac{1}{2}Var_t[r_{t+1}] = Cov_t[m_{t+1},r_{t+1}]$

Per calcolare effettivamente i prezzi delle attività, si dovrebbe quindi

express log-SDF come funzione lineare di alcune variabili di stato e shock (ad es. crescita del consumo di log nel caso CRRA)
linearizzare il rendimento in termini di rapporto dividendo-prezzo del registro (approssimazione di Campbell-Shiller), sostituendolo con (1).
esprimere il rapporto D / P log come lineare nelle variabili di stato, quindi utilizzare il metodo di coefficienti indeterminati per ottenere una soluzione che soddisfi (1).

In pratica è un po 'più complicato (soprattutto con le preferenze EZ, quando si deve prima utilizzare l'approccio per ricavare un ritorno sul mercato che entra in SDF, poi la seconda volta per altri rendimenti), ma si possono trovare maggiori dettagli, ad esempio nel link Bansal & Yaron carta.

— ivansml
fonte

1

Esattamente. Sembra che la confusione in questo thread derivi dal fatto che in un'approssimazione del primo ordine di un'equazione di Eulero per la determinazione dei prezzi delle attività, non vi è alcun premio per il rischio. (La concordanza tra SDF e ritorno, ovviamente, è intrinsecamente di secondo ordine.) Grazie per aver chiarito.

— nominalmente rigido il