Curve di calcolo e di indifferenza in un esempio di economia urbana

Sto leggendo il documento " La struttura degli equilibri urbani " di Jan Brueckner.

Utilizza un modello di città monocentrica, in cui tutti i consumatori guadagnano reddito al centro della città. Comprano alloggi per un prezzo a distanza dal centro, sostenendo i costi di trasporto .q p x t $y$$q$$p$$x$$tx$

I consumatori hanno una funzione di utilità:

$v(c,q)=v(y - tx - p(\phi)q(\phi),q(\phi))=u$

dove$\phi=x,y,t,u$

Il vincolo di bilancio è:

$c = y - tx - pq$

La condizione di tangenza implica:

$\frac{v_1(y - tx - pq, q)}{v_2(y - tx - pq, q)} = p$

dove il pedice 1 indica una differenziazione parziale rispetto al primo argomento ecc.

Il documento illustra poi come e variano con ed .q x , y , t $p$$q$$x, y, t$$u$

Se , restiamo sulla stessa curva di indifferenza. Trovo relativamente semplice trovare e .∂ $\phi=x,y,t$ ∂$\frac{\partial{p}}{\partial{x}},\frac{\partial{p}}{\partial{y}}$$\frac{\partial{p}}{\partial{t}}$

Se è la pendenza della curva di domanda compensata dal reddito, allora .∂ $\eta$$\frac{\partial{q}}{\partial{\phi}} = \eta\frac{\partial{p}}{\partial{\phi}}$

Ora per consentire a variare. Il vincolo di bilancio oscilla per incontrare una nuova curva di indifferenza, determinando i nuovi e .p $u$$p$$q$

Posso trovare . Differenzia totalmente la funzione di utilità wrt u:$\frac{\partial{p}}{\partial{u}}$

$\frac{d}{du}[v(y - tx - p(\phi)q(\phi),q(\phi))= u] = v_1(-\frac{\partial{p}}{\partial{u}}q-p\frac{\partial{q}}{\partial{u}})+v_2(\frac{\partial{q}}{\partial{u}})=1$

Poiché, dalla condizione di tangenza :$v_2=pv_1$

$v_1(-\frac{\partial{p}}{\partial{u}}q-p\frac{\partial{q}}{\partial{u}}+p\frac{\partial{q}}{\partial{u}})=v_1(-\frac{\partial{p}}{\partial{u}}q)=1$

Quindi .$\frac{\partial{p}}{\partial{u}} = \frac{-1}{qv_1}$

Il documento cita quindi:

$\frac{\partial{q}}{\partial{u}} = [\frac{\partial{p}}{\partial{u}}-\frac{\partial{MRS}}{\partial{c}}\frac{1}{v_1}]\eta$

Non so come derivarlo. Immagino che il primo termine tra parentesi quadre sia un effetto di sostituzione e il secondo termine sia un effetto reddito.

Aiutami a capire quest'ultima espressione e come derivarlo.$\frac{\partial{q}}{\partial{u}} = [\frac{\partial{p}}{\partial{u}}-\frac{\partial{MRS}}{\partial{c}}\frac{1}{v_1}]\eta$