Mercati completi in tempo continuo

15

Nelle economie a tempo discreto standard con un numero finito di stati, $n$ , un'economia di mercato completa è semplicemente un'economia con $n$ risorse indipendenti (Think Ljunqvist e Sargent Chapter 8). Questo perché $n$ risorse indipendenti sono sufficienti per coprire l'insieme di stati domani.

La scorsa settimana ho avuto una discussione con un professore in cui ha affermato che una delle comodità del tempo continuo quando si pensa ai prezzi delle attività è che in un'economia a tempo continuo si possono ottenere mercati completi semplicemente con un'obbligazione priva di rischio e un'attività rischiosa ( indipendente) per ogni moto browniano nell'economia.

Lo ha spiegato mentre parlavamo, quindi penso di averlo capito per lo più, ma mi chiedevo se a qualcuno sarebbe dispiaciuto scrivere i dettagli?

Probabilmente trascorrerò un giorno o due questa settimana (dipende da alcune delle proprietà del calcolo differenziale), quindi se nessun altro risponde alla domanda, spero di poter fornire una risposta soddisfacente.

— cc7768
fonte

1

Nel caso del tempo discreto, la completezza non richiede che il numero di stati e il numero di beni siano gli stessi, sebbene non si possano avere più stati che beni. La caratterizzazione generale della completezza sta avendo una misura equivalente unica martingala, IIRC.

— Michael,

9

Sono l'ultima persona che dovrebbe rispondere a domande continue come queste, ma se non c'è nessun altro immagino che ci proverò. (Qualsiasi correzione della mia finanza a tempo continuo vagamente ricordata è molto gradita.)

La mia impressione è sempre stata che questo sia meglio interpretato come conseguenza del teorema della rappresentazione martingala . Per prima cosa, stabilirò vagamente qualche notazione. Lascia che lo spazio di probabilità sia generato dagli processi Wiener indipendenti . Let There Be attività, in cui il valore della esima bene al è dato da . Supponiamo che l'attività sia un'obbligazione priva di rischio $n$ $(Z_t^1,\ldots,Z_t^n)$ $n+1$ $i$ $t$ $S_t^i$ $i=0$ , mentre le attivitàsono ciascuna rischiosa e sono determinate dalla corrispondente : Supponiamo che ci sia un processo SDF strettamente positivonormalizzato a, tale che $dS_t^0=r_tS_t^0dt$ $i=1,\ldots,n$ $Z_t^i$

d S_{t}^{i} = μ_{t}^{i} d t + σ_{t}^{i} d Z_{t}^{i}

$dS_t^i=\mu_t^idt+\sigma_t^idZ_t^i$

m_{t}

$m_t$

m_{0} = 1

$m_0=1$

è una martingala per ogni

(fondamentalmente la definizione di SDF) e dove

(io uso

come prodotto punto, che sarà conveniente.)

m_{t} S_{t}^{i}

$m_tS_t^i$

i

$i$

d m_{t} = ν_{t} d t + ψ_{t} \cdot d Z_{t}

$dm_t=\nu_t dt+\psi_t\cdot dZ_t$

\cdot

$\cdot$

Infine, lascia che il vettore dimensionale sia il nostro portafoglio al momento , in modo tale che il valore netto sia dato da . Supponiamo che sia fisso e che inoltre abbiamo Ora indicherò l'obiettivo, che cattura l'essenza dei mercati completi. Supponiamo che il mondo finisca al tempo e che desideriamo un patrimonio netto $n+1$ $\theta_t$ $t$ $A_t$ $A_t=\theta_t\cdot S_t$ $A_0$

d A_{t} = θ_{t} \cdot d S_{t}

$dA_t=\theta_t\cdot dS_t$

T

$T$

A_{T}

$A_T$ per eguagliare una certa stocastico

, che può dipendere dalla storia completa entro tempo

. Supponiamo che

, in modo che in un mondo con mercati completi avremmo potuto (a

) utilizzare la nostra ricchezza iniziale

per l'acquisto del tempo

vincita

. In assenza di questi mercati completi diretti, la domanda è se esiste comunque una strategia per il portafoglio

che ci consentirà di ottenere

Y

$Y$

T

$T$

A_{0} = E_{0} [m_{T} Y]

$A_0=E_0[m_TY]$

t = 0

$t=0$

A_{0}

$A_0$

t = T

$t=T$

Y

$Y$

θ_{t}

$\theta_t$

in tutti gli stati del mondo. E la risposta, in questa impostazione, è sì.

A_{T} = Y

$A_T=Y$

$d(m_tA_t)=\theta_t\cdot d(m_tS_t)$ $m_tS_t$ $m_tA_t$ $A_T=Y\Longleftrightarrow m_TA_T=m_TY$

m_{t} A_{t} = E_{t} [m_{T} Y]

$m_tA_t=E_t[m_TY]$

t \in [0, T]

$t\in[0,T]$

t = 0

$t=0$

$E_t[m_TY]$

E_{t} [m_{T} Y] = E_{0} [m_{T} Y] + \int_{0}^{t} ϕ_{s} \cdot d Z_{s}

$E_t[m_TY]=E_0[m_TY]+\int_0^t \phi_s\cdot dZ_s$

ϕ_{s}

$\phi_s$

d (m_{t} A_{t}) = ϕ_{t} \cdot d Z_{t}

$d(m_tA_t)=\phi_t\cdot dZ_t$

d (m_{t} A_{t}) = \sum_{i} (m_{t} θ_{t}^{i} σ_{t}^{i} + A_{t} ψ_{t}^{i}) d Z_{t}^{i}

$d(m_tA_t)=\sum_i (m_t\theta_t^i \sigma_t^i +A_t\psi_t^i)dZ_t^i$

m_{t} θ_{t}^{i} σ_{t}^{i} + A_{t} ψ_{t}^{i} = ϕ_{t}^{i}

$m_t\theta_t^i\sigma_t^i +A_t\psi_t^i=\phi_t^i$

i = 1, \dots, n

$i=1,\ldots,n$

θ_{t}^{i}

$\theta_t^i$

θ_{t}^{i} = \frac{ϕ_{t}^{i} - A_{t} ψ_{t}^{i}}{m_{t} σ_{t}^{i}}

$\theta_t^i=\frac{\phi_t^i-A_t\psi_t^i}{m_t\sigma_t^i}$

θ_{t}^{0}

$\theta_t^0$

A_{t} = θ_{t} \cdot S_{t}

$A_t=\theta_t\cdot S_t$

$A_t$ $m_tA_t=E_t[m_TY]$ $m_t$ $dZ_t^i$ $\theta_t$ $dA_t$ $dZ_t^i$ $n$ $n$

— nominalmente rigido
fonte

1

Grazie. Ho scremato la tua risposta e sembra fantastico. È successo qualcosa che dovrò finire nei prossimi due giorni, ma darò un'occhiata più da vicino e probabilmente accetterò la tua risposta quando finirò.

— cc7768,

5

Ho intenzione di postare questo per molto tempo. Mi sono imbattuto in questo e ho pensato che potesse aggiungere qualche intuizione. Questo esempio è tratto da "Teoria dei prezzi delle attività finanziarie" di Munk.

Considera la figura seguente. Di quante risorse abbiamo bisogno per avere un mercato completo? inserisci qui la descrizione dell'immagine

$N$ $N$

(i) l'incertezza non si rivela completamente in una volta, ma a poco a poco, e (ii) possiamo scambiare dinamicamente le attività. Nell'esempio ci sono tre possibili transizioni dell'economia da tempo 0 a tempo 1. Dalla nostra analisi di un periodo sappiamo che tre attività sufficientemente diverse sono sufficienti per "superare" questa incertezza. Di volta in volta 2 ci sono due, tre o una possibile transizione dell'economia, a seconda dello stato in cui si trova l'economia al momento 1. Al massimo, abbiamo bisogno di tre attività sufficientemente diverse per superare l'incertezza in questo periodo. In totale, possiamo generare qualsiasi processo di dividendo se abbiamo accesso a tre attività sufficientemente diverse in entrambi i periodi.

Nel caso di una versione ad albero multinomiale generale di un mercato a tempo discreto a stato finito più generale, possiamo definire per ciascun nodo dell'albero il numero di spanning come il numero di rami del sottostruttura che lasciano quel nodo. Il mercato è quindi completo se, per qualsiasi nodo nella struttura, il numero di attività negoziate linearmente indipendenti nel periodo successivo è uguale al numero di spanning.

Ora, nel caso di un modello a tempo continuo in cui l'incertezza è generata da un moto browniano standard d-dimensionale, l'argomento è complicato, ma Munk fornisce alcune intuizioni basate sulla discussione precedente.

Il risultato è abbastanza intuitivo date le seguenti osservazioni:

Per cambiamenti continui in un istante, contano solo i mezzi e le varianze.

$dz_i$ $d+1$ $dz_t$ $dz_t$ $dt$ $\epsilon$ $\sqrt{dt}$ $1/2$ $-\sqrt{dt}$ $1/2$

Con il trading continuo, possiamo adattare la nostra esposizione agli shock esogeni in ogni istante.

$d+1$ $d+1$

— jmbejara
fonte

1

Sono sempre molto sospettoso di questo tipo di racconti vaghi --- sì, lo so che lo facciamo sempre. Nel tempo continuo è particolarmente dubbio. Certo, suona bene per il caso Bm. Cosa succede a quella storia quando il processo dei prezzi è un semimarting generale? Diventa una sciocchezza.

— Michael

Puoi sicuramente avere problemi con questo tipo di argomenti, ma il caso a tempo discreto è di per sé interessante ed è utilmente suggestivo per il caso a tempo continuo. Un buon riferimento è il seguente: condizioni per cui la completezza dinamica è valida e condizioni per la convergenza di approssimazioni discrete si possono trovare in Anderson e Raimondo (2008)

— jmbejara,

In una nota correlata, questo documento è interessante: la legge di un prezzo è necessaria affinché la completezza dinamica implichi la completezza di un periodo. Battauz and Ortu (2007)

— jmbejara,