Ottimizzazione: programmazione dinamica vs Kuhn-Tucker

Considerando la massimizzazione dell'utilità standard della famiglia rappresentativa che vive per sempre, si può usare la programmazione dinamica e Kuhn-Tucker in caso di tempo discreto. Ad esempio, si vorrebbe risolvere,

max soggetto a $\Sigma^∞_tU(C(t),N(t))$ $P(t)C(t)+Q(t)B(t)<B(t−1)+W(t)N(t)+D(t)$

dove è consumo, è l'obbligazione, è il prezzo dell'obbligazione, è un dividendo e è la quantità di lavoro. $C(t)$ $B$ $Q$ $D(t)$ $N(t)$

L'interpretazione differisce quando si usa la programmazione dinamica o Kuhn-Tucker? Sarà qualcosa del genere: in DP tutti i percorsi sono ottimizzati lungo t, ma in Kuhn-Tucker è ottimizzato solo il percorso al momento t .

In tal caso, come è possibile fare la dichiarazione di cui sopra?

— Roy_Oishi
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Direi che la differenza principale deriva dal metodo di soluzione, che si traduce in affermazione su tutti i percorsi rispetto al solo percorso al momento t.

La programmazione dinamica (almeno se eseguita numericamente) consiste nell'induzione all'indietro. Si tenta di identificare l'azione ottimale per tutti i possibili valori della variabile di stato nel periodo finale, quindi ragionare all'indietro seguendo l'equazione di stato. In questo modo si ottiene una soluzione non solo per il percorso in cui ci troviamo attualmente, ma anche per tutti gli altri percorsi.

Allo stesso modo, se si utilizza il metodo indovina e verifica per risolvere la funzione del valore dell'equazione di Bellman, la funzione del valore che si indovina definisce la decisione ottimale per tutti i possibili valori della variabile di stato. In questo modo si ottiene una soluzione per tutti i possibili percorsi, incluso quello corrente.

Kuhn-Tucker funziona sostanzialmente al contrario. Uno formula le condizioni necessarie e sufficienti e risolve le equazioni di differenza risultanti usando le condizioni iniziali come punti di partenza.

— Maarten Punt
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Grazie mille per il tuo commento Quindi, nella maggior parte dei casi, entrambi i metodi potrebbero essere utilizzati per trovare un comportamento ottimale della famiglia, ma l'interpretazione potrebbe essere diversa. È giusto?

— Roy_Oishi,

In effetti entrambi i metodi possono essere utilizzati per trovare la soluzione ottimale. Non sono sicuro di cosa intendi con "l'interpretazione potrebbe essere diversa" L'interpretazione di cosa? La soluzione sarebbe la stessa in entrambi i casi, la differenza principale è che DP ti fornirebbe anche una serie di "altre soluzioni" nel caso in cui tu non sia attualmente sulla strada ottimale.

— Maarten Punt,

Penso che si possa dire che questo consumatore non ha incentivi a seguire un altro percorso del consumo in futuro quando verrà applicata la DP in quanto tutto il percorso è ottimizzato (una sorta di impegno). D'altra parte, se l'ottimizzazione del percorso di consumo è risolta da Kuhn-Tucker, la famiglia potrebbe uscire dal percorso di consumo in futuro perché è ottimizzato solo il percorso al tempo t e al tempo t + 1.

— Roy_Oishi,

No, il consumatore non avrebbe alcun incentivo a lasciare comunque il percorso ottimale, altrimenti non sarebbe ottimale. È più simile: se il consumatore commettesse un "errore" o se in qualche modo lo togliessimo dal percorso ottimale, DP fornisce la via del ritorno. KT non solo ottimizza il percorso at t + t, ma ottimizza l'intero percorso. La ragione per cui di solito non la risolviamo per tutte le t, è che la soluzione è di solito una generale relativa t e t + 1 per tutte le future t (a condizione che il consumatore rimanga sulla strada ottimale)

— Maarten Punt