Perché la funzione di produzione di Cobb-Douglas è così popolare?

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Come analista quantitativo / Analista dei costi relativamente alle prime armi, mi è stato chiesto di stimare il livello di produttività di una determinata organizzazione più di una volta, e quindi di prevedere per il prossimo paio di periodi. Il posto in cui lavoro è un non profit relativamente piccolo (circa 30 persone) dedicato alla distribuzione delle donazioni delle banche alimentari e alla sollecitazione di volontari, quindi non sono sicuro che le dimensioni dell'azienda abbiano qualcosa a che fare con questo.

Il più delle volte mi hanno chiesto unità specifiche e non variazioni percentuali o elasticità, quindi sono costretto a presentare una delle due funzioni di produzione.

$f (x_{1}, . . ., x_{n}) = Σ_{i = 1}^{n} β_{i} x_{i}$ $f(x_1,...,x_n)=\Sigma_{i=1}^n\beta_i x_i$
$f (x_{1}, . . ., x_{n}) = γ min (x_{1}, . . ., x_{n})$ $f(x_1,...,x_n)=\gamma \min(x_1,...,x_n)$

Eppure, quando leggo la letteratura economica vedo il cobb douglas (o qualche sua variante come il gerry-stone) usato continuamente.

So che ha la proprietà di mostrare matematicamente rendimenti di scala decrescenti per un singolo fattore di produzione, tuttavia ho difficoltà a vederlo nella mia linea di lavoro. È una funzione di produzione esclusiva della produzione di beni reali?

mathematical-economics production-function

— EconJohn
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Penso che una bella proprietà della funzione di produzione di CD sia che i suoi parametri (gli esponenti sugli input) catturano la quota degli input dell'output e possono quindi essere facilmente calibrati.

— Herr K.

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Il motivo per cui le funzioni di produzione di Cobb Douglas sono così popolari deriva dal fatto che i seguenti presupposti sono soddisfatti pur rimanendo statisticamente rigorosi ¹ :

Richiama il modulo funzione di produzione Cobb- Douglas:

F (K, A L) = K^{α} (A L)^{1 - α}

$F(K,AL)=K^{\alpha}(AL)^{1-\alpha}$

dove (ovvero la quota di output che va al capitale) $0<\alpha <1$

$1)$ Prodotti marginali positivi:

\frac{\partial F (K, A L)}{\partial K} > 0, \frac{\partial F (K, A L)}{\partial (A L)} > 0

${\partial{F(K,AL)}\over{\partial K}}>0 \space , \space\space{\partial{F(K,AL)}\over{\partial (AL)}}>0$

$2)$ Prodotti marginali decrescenti (come hai già detto)

\frac{\partial^{2} F (K, A L)}{\partial K^{2}} < 0, \frac{\partial^{2} F (K, A L)}{\partial (A L)^{2}} < 0

${\partial^2{F(K,AL)}\over{\partial K^2}}<0 \space , \space\space{\partial^2{F(K,AL)}\over{\partial (AL)^2}}<0$

$3)$ Constant Return to Scale (ecco come funziona la maggior parte dei processi di produzione)

F (λ K, λ A L) = λ F (K, A L)

$F(\lambda K, \lambda AL)= \lambda F(K, AL)$

per qualsiasi (ad esempio "Double input Double output") $\lambda \ge 0$ $\Rightarrow$

Spero che questo ti aiuti!!

_{¹ Fonte: https://en.wikipedia.org/wiki/Cobb%E2%80%93Douglas_production_function}

— FreakconFrank
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Come suggerisci nella tua domanda, la vera ragione sottostante (secondo me) alla base della popolarità della funzione di produzione di CD è la convenienza matematica. Il fatto che la somma sia una rappresentazione piacevole e intuitiva di "ritorni in scala" è molto conveniente. $\alpha + \beta$

Penso che il suo utilizzo sia simile all'uso di utility esponenziali o di potenza nella finanza matematica. Irrealistico? Forse, ma oh, è così più amichevole con cui lavorare.

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Ok, penso di aver fatto molte ipotesi implicite perché ero confuso dalle tue funzioni nell'ultima risposta, il che ha reso la mia risposta molto confusa. Quindi cerco di essere un po 'più esplicito questa volta. Prenderò in considerazione solo la tua prima funzione.

Ora se questa è una funzione di produzione, allora sono input e hai un solo output. Ora la tua funzione di produzione ha le seguenti proprietà: e . Ciò implica che i tuoi input sono completamente indipendenti l'uno dall'altro. Puoi raggiungere lo stesso output solo con o solo con . Questo non ha senso se i tuoi input sono Capitale e Lavoro (almeno non fino a quando non avremo completamente automatizzato la produzione dove non hai bisogno di un essere umano in nessun punto del processo di produzione). Perché se uno di loro è 0 nel mondo reale, non otterresti alcun output. $x_i$ $\frac{df}{dx_i}=\beta_i$ $\frac{df}{dx_jdx_i}=0$ $x_1$ $x_2$

Questa considerazione mi porta a credere che i tuoi metodi di produzione modello , il che implica che contengono già miscele di capitale e lavoro. In tal caso, dovresti semplicemente ottimizzare questi diversi metodi di produzione e scegliere quello migliore. Quello con il più alto rapporto al costo. Perché a livello aziendale, i costi marginali sarebbero molto probabilmente costanti. $x_1$ $\beta_i$

Questo è un modello ragionevole, dal punto di vista delle aziende. Puoi scegliere solo tra questi metodi di produzione, quindi il fatto di aver unito capitale e lavoro non ti riguarda. Ottimizzi la funzione e scegli il miglior metodo di produzione dati i costi fissi. La (presunta) semplificazione è che non si considera come l'espansione o la produzione modifica il costo marginale all'interno di un metodo di produzione.

(Se l'espansione sarebbe su scala economica, aumenteresti il salario dei lavoratori impiegandone di più, il che a un certo punto porterebbe a scegliere un metodo di produzione più pesante di capitale)

Un economista lo affronta da una prospettiva diversa: sono interessati al rapporto capitale / lavoro e non allo specifico metodo di produzione. Vogliono una funzione che prende capitale e lavoro come input, seleziona il miglior metodo di produzione dato quell'input e restituisce un output. Il loro presupposto è che su questa scala ci sono così tanti diversi metodi di produzione, che puoi spazzolarli e sostanzialmente ottenere una funzione continua nel capitale e nel lavoro.

Vogliono un modello che abbia la proprietà fornita dalla funzione Cobb-Douglas. $\frac{df}{dx_jdx_i}>0$

Stai sostanzialmente confrontando la simulazione di particelle con la simulazione di fluidi. Le equazioni per modellare una singola molecola d'acqua saranno diverse dalla modellazione di un flusso di acqua. E potrebbe sembrare che uno non abbia nulla a che fare con l'altro.

L'altra possibilità a cui ho pensato è che questa funzione è in realtà una funzione di costo per la produzione degli output ma per definizione hai un costo marginale fisso di . Il che, di nuovo, è un presupposto che è ragionevole fare a livello micro ma non a livello macro. $(x_1, ...,x_n)$ $x_i$

— Felix B.
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È alquanto strano che "Cobb-Douglas" non appaia da nessuna parte nella tua risposta.

— Giskard,

Cobb-Douglas è una funzione per modellare la produzione aggregata con lavoro e capitale come input e modellando l'effetto della modifica della quota di capitale / lavoro sulla produzione. (cambiamento della produttività marginale nel lavoro a causa di un cambiamento nel capitale) Parlo di come queste considerazioni sulla condivisione possano essere scartate dopo l'ottimizzazione per la produzione di un'unità in quanto i costi marginali possono essere approssimati come costanti per le piccole imprese.

— Felix B.

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La funzione di produzione Cobb-Douglas è così popolare, solo perché è una delle pochissime funzioni per le quali è possibile calcolare esplicitamente le funzioni di domanda di input (e offerta di output). La funzione di produzione Cobb-Douglas viene solitamente utilizzata a livello di laurea (lezioni frontali, esami ed esercitazioni) perché siamo in grado di risolvere il sistema delle condizioni del primo ordine. Tuttavia, questa forma funzionale è molto restrittiva e la sua validità è respinta empiricamente. In modo che a livello principale, riaffermiamo la teoria microeconomica usando forme illimitate per la funzione di produzione (vedi ad esempio il libro di testo Mas Colell et al.) E utilizziamo il teorema della funzione implicita o la teoria della dualità per derivare risultati statici comparativi.

— Bertrand
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