Omogeneo di primo grado in funzione di utilità.

Domanda

La mia soluzione è la seguente. Per favore, controlla la mia soluzione. Se commetto un errore, per favore dillo. Non sono davvero sicuro della mia soluzione. Grazie

U (x) è omogeneo di grado uno cioè u (tx) = tu (x)

In primo luogo, mostro che la funzione di utilità indiretta è omogenea di grado uno in m.

Dalla massimizzazione dell'utilità,

V (p, m) = max u (x) soggetto a px $\le$ m

tv (p, m) = max tu (x) soggetto a px $\le$ m

Poiché u (tx) = tu (x), tv (p, m) = max u (tx) soggetto a px $\le$ m

Quindi v (p, tm) = tv (p, m)

Questa è la funzione di utilità indiretta è omogenea di primo grado.

Mostro che la funzione di spesa è omogenea di grado uno in te usando il risultato precedente.

lo so

v (p, m) = v (p, e (p, u)) = u (x)

Poiché u (x) è omogeneo di grado uno e v (p, m) è omogeneo di grado uno in m, v (p, e (p, u)) deve essere omogeneo di grado uno in e (p, u) .

In altre parole, v (p, e (p, u (tx))) = v (p, e (p, tu (x))) = tv (p, e (p, u)) contiene iff e (p , tu (x)) = te (p, u (x))

cioè la costosa funzione e (p, u) è omogenea di grado uno in u.

Ora mostrerò che la domanda marshalliana x (p, m) è omogenea di grado uno in m.

Dall'identità di Roy,

\frac{\partial v (p, m) / \partial p}{\partial v (p, m) / \partial m} = x (p, m)

$\frac{\partial v(p,m)/\partial p}{\partial v(p,m)/\partial m}=x(p,m)$

Dal primo risultato, poiché v (p, m) è omogeneo di grado uno in m, quindi x (p, m) è omogeneo di grado uno in m.

ora mostriamo che la domanda hicksian è omogenea di grado uno in te.

lo so

x (p, m) = x (p, e (p, u)) = h (p, u) ........ (1)

x (p, tm) = tx (p, m) = tx (p, e (p, u)) = x (p, TE (p, u))

Poiché e (p, u) è omogeneo di grado uno per la seconda parte,

x (p, TE (p, u)) = x (p, e (p, u (tx)) = h (p, u (tx)) = h (p, tu (x)) = Th (p, u (x)) deve valere poiché esiste l'uguaglianza (1).

Questa è la domanda di Hicksian omogenea di primo grado in te.

— none009
fonte

u (t x) = t u (x) ⟹ t v (p, m) = max u (t x) s . t . p (t x) \leq t m = v (p, t m)

$u(tx)=tu(x)\implies tv(p,m)=\max u(tx) \;\;s.t.\;\; p(tx)≤ tm = v(p,tm)$

Il modo in cui mostri che è omogeneo di grado uno in è corretto, ma il motivo per cui ciò implica che, è omogeneo di grado uno in , non è molto preciso nel tuo argomento . Ad esempio, la dualità ci dice dove è solo un livello di utilità target, ma non dovrebbe essere come nella tua dimostrazione. $v(p,m)$ $m$ $e(p,u)$ $u$

v (p, e (p, u)) = u,

$v(p,e(p,u))=u,$

u

$u$

u (x)

$u(x)$

Ecco un modo possibile per procedere: poiché è omogeneo di grado uno in , può essere scritto come Applicando l'uguaglianza dà che implica chiaramente che è omogeneo di grado uno in . È possibile utilizzare un argomento simile per dimostrare l'omogeneità della domanda di Hicksian. $v(p,m)$ $m$

v (p, m) = m v (p, 1) = m \tilde{v} (p) .

$v(p,m)=mv(p,1)=m\tilde v(p).$

v (p, e (p, u)) = u

$v(p,e(p,u))=u$

e (p, u) = \frac{u}{\tilde{v} (p)},

$e(p,u)=\frac{u}{\tilde v(p)},$

e (p, u)

$e(p,u)$

u

$u$

Detto questo, suggerirei di provare direttamente la dichiarazione originale usando le definizioni della funzione di spesa e della domanda di Hicksian. Ad esempio,

\begin{aligned} e (p, λ u) & = min p \cdot x s.t. u (x) \geq λ u \\ = λ min p \cdot \frac{1}{λ} x s.t. \frac{1}{λ} u (x) \geq u \\ = \dots \end{aligned}

$\begin{align*} e(p,\lambda u)&= \min p\cdot x ~~\text{ s.t. } u(x)\geq \lambda u\\ &=\lambda\min p\cdot\frac{1}{\lambda}x ~~\text{ s.t. }\frac{1}{\lambda}u(x)\geq u\\ &=\cdots \end{align*}$

— Ziwei Wang
fonte

Okay grazie. Lo faccio anche per la domanda hicksian. Si prega di controllare anche la mia soluzione per la domanda hicksian. di nuovo normalizziamo m = 1. E . Poiché allora ho quindi, poiché e (p, u) è omogeneo di grado uno in te, allora anche la domanda di hicksian è omogenea di grado uno in te. È giusto? Si prega di ricontrollare caro @ZiweiWang grazie mille. :)

x (p, m) = m x (p, 1) = m \tilde{x} (p)

$x(p,m)=mx(p,1)=m\tilde {x}(p)$

x (p, e (p, u)) = h (p, u)

$x(p,e(p,u))=h(p,u)$

\frac{h (p, u)}{m \tilde{x} (p)} = e (p, u)

$\frac{h(p,u)}{m\tilde {x}(p)}=e(p,u)$

— none009,

Nota che hai inserito , quindi (cioè non dovrebbe apparire nella tua espressione per .)

m = e (p, u)

$m=e(p,u)$

h (p, u) = \tilde{x} (p) e (p, u)

$h(p,u)=\tilde{x}(p)e(p,u)$

m

$m$

h (p, u)

$h(p,u)$

— Ziwei Wang,