Applicazioni delle funzioni Trig in Economia?

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Ci sono delle applicazioni delle funzioni trigonometriche (vale a dire $\sin(x)$ , $\cos(x)$ , $\tan(x)$ ) in economia?

mathematical-economics

— EconJohn
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Perché ti interessi?

— Michael Greinecker,

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@MichaelGreinecker interesse generale.

— EconJohn

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Stats.stackexchange.com/questions/312883/…

— EconJohn

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La proprietà principale delle funzioni di trigger è la loro ciclicità. Quindi si potrebbe pensare che potrebbero essere ideali nell'analisi delle serie storiche, per modellare "fluttuazioni attorno a una tendenza". Credo che i motivi per cui non sono effettivamente utilizzati in tale contesto siano

1) Sono funzioni deterministiche , quindi non consentono che le fluttuazioni siano stocastiche

2) Se il ricercatore desidera creare un modello che produca fluttuazioni su e giù (oscillazioni) attorno a una tendenza, vorrebbe ottenere quella proprietà dalle ipotesi comportamentali e di altro tipo del modello. Se dovesse usare una funzione trig, imporrebbe a priori sul modello il risultato teorico ricercato.

Invece, si opta per equazioni differenza-differenziale. Lì otteniamo oscillazioni (smorzate o meno) se alcune radici caratteristiche sono complesse e quindi appaiono le funzioni di trigger, ma come rappresentazione alternativa, non come blocchi di buidling.

— Alecos Papadopoulos
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Non sono sicuro che sarei d'accordo con te. C'è un'area chiamata analisi spettrale nelle serie temporali che è principalmente l'uso di funzioni trig, trasformata di Fourier, ecc. Si impara che è possibile scomporre una serie temporale stazionaria in una somma di componenti sinusoidali con coefficienti casuali non correlati.

— Un vecchio nel mare.

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@Anoldmaninthesea. Certamente e bene quello che hai sottolineato (suggerirei di dare una risposta). Ma l'analisi spettrale viene utilizzata principalmente per scopi di previsione ateorici, non per la modellazione economica strutturale.

— Alecos Papadopoulos,

Alecos, sfortunatamente avrei bisogno di studiarlo in dettaglio per fornire una buona risposta. Forse durante il fine settimana. : D

— Un vecchio nel mare.

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Solo per dire che ho letto sull'argomento e comporta l'integrazione stocastica (la decomposizione in una serie di componenti sinusoidali), che è qualcosa di cui non ho idea ... Il resto della lettura stava semplicemente affermando che l'analisi spettrale è equivalente alla solita analisi nel dominio del tempo, ma senza entrare in molti dettagli. Sto aggiungendo questo commento in modo che tu sappia che non ho dimenticato e provato, ma semplicemente non ne so abbastanza. ;)

— Un vecchio nel mare.

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@Anoldmaninthesea. Prova il capitolo 2 della "Serie di previsioni economiche" di Granger e Newbold (2a edizione). Is è un vecchio libro ma pieno di saggezza, realismo e potere espositivo (e non solo per l'analisi spettrale).

— Alecos Papadopoulos,

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Un'applicazione naturale delle funzioni trigonometriche è nell'analisi dei dati spaziali. Un esempio è il problema di Weber nella teoria della posizione: trovare il punto che minimizza la somma dei costi di trasporto verso destinazioni. Esiste più di un modo per risolvere il problema, ma la soluzione di Tellier utilizza la trigonometria. $n$

— Adam Bailey
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Conosco serie di Fourier utilizzate in finanza ed econometria.

Metodi di trasformazione di Fourier in finanza

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Pr ({\tilde{r}}_{t}) = {[\frac{π}{2} + \tan^{- 1} (\frac{μ}{γ})]}^{- 1} \frac{γ}{γ^{2} + ({\tilde{r}}_{t} - μ)^{2}} .

$\Pr(\tilde{r}_t)=\left[\frac{\pi}{2}+\tan^{-1}\left(\frac{\mu}{\gamma}\right)\right]^{-1}\frac{\gamma}{\gamma^2+(\tilde{r}_t-\mu)^2}.$

Per questo vedi: Harris, DE (2017) The Distribution of Returns. Journal of Mathematical Finance, 7, 769-804.

Per i rendimenti calcolati come differenza dei registri, i rendimenti sono:

Pr (l o g (r_{t})) = \frac{1}{2 σ} sech (\frac{π ({\tilde{r}}_{t} - μ)}{2 σ})

$\Pr(log(r_t))=\frac{1}{2\sigma}\text{sech}\left(\frac{\pi(\tilde{r}_t-\mu)}{2\sigma}\right)$

— Dave Harris
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Per un esempio concreto di come funzioni trig (e inverse trig) possano avere applicazioni finanziarie o economiche, eccone una di "Analisi delle serie temporali finanziarie" di Ruey S. Tsay. Considera il modello AR (2):

r_{t} = φ_{0} + φ_{1} r_{t - 1} + φ_{2} r_{t - 2} + {un'}_{t}

$r_t = \phi_0 + \phi_1 r_{t-1} + \phi_2 r_{t-2} +a_t$

La sua funzione di autocorrelazione (ACF) soddisfa l'equazione della differenza , dove è l'operatore di back-shift, ovvero e . (Alcune persone preferiscono scrivere per l'operatore lag invece.) $\rho_\ell = \operatorname{Corr}(r_t, r_{t-\ell})$ $(1 - \phi_1 B - \phi_2 B^2) \rho _ \ell = 0$ $B$ $B \rho_\ell = \rho_{\ell-1}$ $B^2 \rho_\ell = \rho_{\ell-2}$ $L$

L'equazione caratteristica del secondo ordine ha radici caratteristiche e date da: $1 - \phi_1 \omega - \phi_2 \omega^2 = 0$ $\omega_1$ $\omega_2$

ω = \frac{φ_{1} \pm \sqrt{φ_{1}^{2} + 4 φ_{2}}}{- 2 φ_{2}}

$\omega = \frac{\phi_1 \pm \sqrt{\phi_1^2 + 4\phi_2}}{-2\phi_2}$

Se le radici caratteristiche sono reali, il comportamento è una miscela di due decadimenti esponenziali. Ma se invece il discriminante , le radici caratteristiche e formano una coppia coniugata complessa, e la trama dell'ACF mostrerà onde sinusoidali smorzate. Per citare Tsay: $\phi_1^2 + 4\phi_2 < 0$ $\omega_1$ $\omega_2$

Nelle applicazioni economiche e commerciali, sono importanti radici caratteristiche complesse. Danno origine al comportamento dei cicli economici. È quindi comune che i modelli di serie storiche abbiano radici caratteristiche di valore complesso. Per un modello AR (2) ... con una coppia di radici caratteristiche complesse, la lunghezza media dei cicli stocastici è

$K = \frac{2 π}{\cos^{- 1} [φ_{1} / (2 \sqrt{- φ_{2}})]}$ $k = \frac{2 \pi}{\cos^{-1}[\phi_1 / (2\sqrt{-\phi_2})]}$
dove l'inverso del coseno è espresso in radianti. Se uno scrive le soluzioni complesse come , dove , allora abbiamo , e $a \pm bi$ $i=\sqrt{-1}$ $\phi_1 = 2a$ $\phi_2 = -(a^2 + b^2)$

$K = \frac{2 π}{\cos^{- 1} (un' / \sqrt{{un'}^{2} + B^{2}})}$ $k = \frac{2 \pi}{\cos^{-1}(a / \sqrt{a^2+b^2})}$

Nota che questo secondo modo di scrivere ha un modo molto più geometricamente intuitivo di pensare al coseno inverso. $k$

— pesciolino d'argento
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Ho citato Tsay alla lettera "le complesse radici caratteristiche sono importanti. Danno origine al comportamento dei cicli economici" perché penso che l'affermazione debba essere trattata con scetticismo - vedi la risposta di Alecos ma anche i commenti di Stephan Kolassa qui . Mi chiedo se il libro sia stato semplificato eccessivamente per il suo pubblico (sebbene sia un testo di livello universitario, l'enfasi è per i professionisti). Se le lunghezze dei cicli non sono stocastiche, tuttavia, la formula per è vera.

k

$k$

— Silverfish,