Teorema della busta per insiemi di scelte discrete?

$$f(x)=\max_yg(x,y)$$

Quindi possiamo trovare la derivata realizzando che causa della condizione del primo ordine per massimizzare.$d/dx \ f(x)$

$$(1): \quad \frac {\partial }{\partial y}g(x,y^*)=0$$

Possiamo usarlo riconoscendo che Dove segue l'ultima uguaglianza a causa del risultato .

$$\frac d {dx}f(x)=\frac d {dx}g(x,y^*(x))=\frac \partial {\partial x}g(x,y^*)+\frac \partial {\partial y}g(x,y^*)\frac {dy^*(x)} {dx}=\frac \partial {\partial x}g(x,y^*)$$ $(1)$

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Tuttavia, la mia domanda è: cosa succede se può prendere solo un numero discreto di valori$y$ ? come o ? Naturalmente possiamo dire:$0$$1$

$$f'(x)=\begin{cases} g_x(x,0) \quad \text { if } g(x,0) > g(x,1)\\ g_x(x,1) \quad \text { if } g(x,0) < g(x,1) \end{cases}$$

Tuttavia, mi chiedo se esiste una sorta di "teorema dell'inviluppo per insiemi di scelte discrete", che ci consentirebbe di semplificare questo aspetto (specialmente se l'insieme di scelte è discreto ma ampio).

C'è un teorema di inviluppo per l'impostazione che descrivi.

Dai un'occhiata a " Teoremi di inviluppo per set di scelte arbitrarie " di Milgrom e Segal (2002).