problema di asset-pricing

Considera la funzione di utilità $ ν (c_1, c_2) = u (c_1) + \ beta u (c_2) $, $ 0 & lt; \ beta & lt; 1 $, definito per $ c_1 ≥0 $ e $ c2 ≥0 $. Supponiamo $ ν '(c) & gt; 0 $ e $ ν' '(c) & lt; 0 $ per tutti $ c & gt; 0 $; se vuoi, puoi anche assumere che ν (0) = 0. Una curva di indifferenza per un tale agente è costituita da punti $ (c_1, c_2) $ tali che $ ν (c_1, c_2) = C $, dove $ C $ è una costante

Considera due profili di consumo $ (c_1, c_2) $ e $ (c_1 ^ ', c ^' _ 2) $, dove $ c_1 + c_2 = c ^ '_ 1 + c ^' _ 2 $. Il primo profilo può essere descritto come più liscio del secondo se c'è una discrepanza minore tra $ c_1 $ e $ c_2 $ che tra $ c ^ '_ 1 $ e $ c ^' _ 2 $.

Per renderlo più preciso, lascia $ c = (c_1 + c_2) / 2 = (c ^ '_ 1 + c ^' _ 2) / 2 $, e quindi definisci $ \ delta $ e $ \ delta ^ '$ secondo $ c_1 = c + \ delta $ e $ c_2 = c- \ delta $ e $ c ^ '_ 1 = c + \ delta ^' $ e $ c ^ '_ 2 = c- \ delta ^' $

Quindi il primo profilo è più scorrevole del secondo se $ | \ delta | & Lt; | \ Delta ^ '| $. Un agente con funzione di utilità $ ν (c_1, c_2) = u (c_1) + \ beta u (c_2) $ preferisce sempre i profili di consumo più lisci anziché i profili meno lisci?

La preferenza di questo agente è strettamente convessa. Ho un'idea del profilo semplice in questa domanda, ma cosa significa? Come posso fare questo problema? Penso di aver bisogno di massimizzare l'utilità rispetto al vincolo $ c_1 + c_2 = costante $.

L'agente non preferisce sempre i profili di consumo più lisci. Dipende dalla curvatura di $ u $ e dalla maginitudine di $ \ beta $. Considera il seguente esempio.

Sia $ u (c) = c ^ {1/2} $. Quindi $ v (c_1, c_2) = c_1 ^ {1/2} + \ beta c_2 ^ {1/2} $ soddisfa $ v ^ \ prime (c) & gt; 0 $ e $ v ^ {\ prime \ prime} (c) & lt; 0 $ per tutti $ c_1, c_2 & gt; 0 $. Nota: sto assumendo per $ v ^ {\ prime \ prime} (c) & lt; 0 $ intendi che $ v $ è concava. È un po 'poco chiaro che v ^ {\ prime \ prime} (c) è perché $ c $ è un vettore.

Considera i pacchetti $ a = (1,0) $ e $ b = (. 5, .5) $. $ b $ è più scorrevole di $ a $, ma l'agente preferisce solo $ b $ a $ a $ se $$ 1 ^ {1/2} + \ beta 0 ^ {1/2} & lt; .5 ^ {1/2} + \ beta .5 ^ {1/2} $$ Ciò si verifica solo se $ \ beta & gt; .414 $. Dal momento che l'ipotesi era solo quella $ 0 & lt; \ beta & lt; 1 $, allora l'agente non preferisce sempre meno profili più regolari.

L'intuizione qui è che l'agente deve preoccuparsi abbastanza del futuro.