Termine per perfetta asimmetria simmetrica

Lascia che indichi un certo stato (ad es. Quota di mercato). Lasciate che denotano un agente (ad esempio, società). Sto considerando un modello in cui i payoff sono perfettamente invertibili, nel senso che le funzioni di payoff possono essere riflesse lungo la linea $x \in [0,1]$ $i \in \{1,2\}$ $F_i(x)$ con. Prendieper esempio. Esiste un termine fisso per questo tipo di giochi. Ha un po 'di sapore a somma zero, perché le preferenze sono perfettamente opposte. L'impresa 1 desidera aumentare la propria quota di mercato e l'impresa 2 vuole ridurre la quota di mercato dell'impresa 1 allo stesso modo. Mi viene in mente Hotelling o una città lineare. Ma questa è la caratterizzazione più generica? $x = \frac{1}{2}$ $F_1(x) = F_2(1-x)$ $F_1(x) = x$ $F_2(x) = 1 - x$
O, ancora meglio, esiste un termine matematico per questo tipo di funzioni che si riflettono su una linea fissa?

Modifica: Esempio Considera il seguente gioco differenziale pubblicitario definito da $(x,u_1,u_2) \in [0,1] \times \mathbb R_+ \times \mathbb R_+$

\begin{aligned} v_{1} (x_{0}) = max_{u_{1}} \int_{0}^{\infty} e^{- t} (x - u_{1}^{2} / 2) d t \\ v_{2} (x_{0}) = max_{u_{2}} \int_{0}^{\infty} e^{- t} (1 - x - u_{2}^{2} / 2) d t \\ s.t. & \dot{x} = u_{1} - u_{2} \end{aligned}

$\begin{align} &v_1(x_0) = \max_{u_1}\int_0^\infty{e^{-t}(x - u_1^2/2)dt}\\ &v_2(x_0) = \max_{u_2}\int_0^\infty{e^{-t}(1 - x - u_2^2/2)dt}\\ \text{s.t.}\quad & \dot x = u_1 - u_2 \end{align}$

x

$x$

u_{i}

$u_i$

(ϕ_{1} (x), ϕ_{2} (x))

$(\phi_1(x), \phi_2(x))$

\begin{aligned} v_{1} (x) = max_{u_{1}} {x - u_{1}^{2} / 2 + v_{1}^{'} (x) (u_{1} - ϕ_{2} (x))} \\ v_{2} (x) = max_{u_{2}} {1 - x - u_{2}^{2} / 2 + v_{2}^{'} (x) (ϕ_{1} (x) - u_{2})} \end{aligned}

$\begin{align} &v_1(x) = \max_{u_1}\{x - u_1^2/2 + v'_1(x)(u_1-\phi_2(x))\}\\ &v_2(x) = \max_{u_2}\{1 - x - u_2^2/2 + v'_2(x)(\phi_1(x)-u_2)\} \end{align}$

Si scopre che è l'unico equilibrio di Nash con i valori associati $(\phi_1(x), \phi_2(x)) = (1,-1)$

\begin{aligned} v_{1} (x) = x - \frac{1}{2} \\ v_{2} (x) = \frac{1}{2} - x \\ ⟹ & v_{1} (x) = v_{2} (1 - x) . \end{aligned}

$\begin{align} &v_1(x) = x - \frac{1}{2}\\ &v_2(x) = \frac{1}{2}-x\\ \Longrightarrow \quad &v_1(x) = v_2(1-x). \end{align}$

Come si caratterizzerebbe la classe di giochi in generale? Antagonista simmetrico?

Posso proporre la seguente definizione:

Lascia che risolva Un gioco differenziale è simmeticamente antagonista se dove . $(\phi_1(x), \phi_2(x))$
$\begin{aligned} v_{1} (x) = max_{u_{1}} {F_{1} (x, u_{1}, ϕ_{2} (x)) + v_{1}^{'} (x) f (x, u_{1}, ϕ_{2} (x))} \\ v_{2} (x) = max_{u_{2}} {F_{2} (x, ϕ_{1} (x), u_{2}) + v_{2}^{'} (x) f (x, ϕ_{1} (x), u_{2})} . \end{aligned}$ $\begin{align} &v_1(x) = \max_{u_1}\{F_1(x,u_1,\phi_2(x)) + v'_1(x)f(x,u_1,\phi_2(x))\}\\ &v_2(x) = \max_{u_2}\{F_2(x,\phi_1(x),u_2) + v'_2(x)f(x,\phi_1(x),u_2)\}. \end{align}$ $\begin{aligned} v_{1} (x) = v_{2} (\bar{x} - x) \forall x \in X \end{aligned}$ $\begin{align} v_1(x) = v_2(\overline x - x) \quad \forall x \in X \end{align}$ $\overline x := \max X$

microeconomics mathematical-economics game-theory

— senza tracce
fonte

Un gioco in cui la funzione di payoff è tale che per due profili di strategia è chiamato gioco antagonistico. Sembra che quello che vuoi sia un gioco antagonistico simmetrico? $F_1,F_2$ $s,s'$

F_{1} (s) > F_{1} (s^{'}) \Leftrightarrow F_{2} (s) < F_{2} (s^{'})

$F_1(s) > F_1(s') \Leftrightarrow F_2(s) < F_2(s')$

— Giskard
fonte

Grazie per il suggerimento. Suoni antagonisti a destra. Ho aggiunto un esempio per chiarire le cose. Per i giochi differenziali il suono più approbiate per indicare lo stato invece di strategie tali che per tutti .

v_{1} (x) \geq v_{1} (x^{'}) \Leftrightarrow v_{2} (x) \leq v_{2} (x^{'})

$v_1(x) \geq v_1(x') \Leftrightarrow v_2(x) \leq v_2(x')$

x \in X

$x \in X$

— clueless