Ottimo consumatore in un'economia con un continuum di materie prime

Considera un'economia con un continuum di materie prime, con una merce per ogni punto in $[0,1]$ .

Supponiamo che un consumatore voglia massimizzare soggetto a dove è la quantità -esimo merce consumata, suo prezzo e il reddito in denaro del consumatore.∫ 1 0 p i c

$$U = \int_0^1 c_i^\theta\,di\qquad 0<\theta<1$$ c i i p i $$\int_0^1 p_i c_i\,di = M$$ $c_i$$i$$p_i$$M$

Questo tipo di problema sorge ad esempio nell'applicare il modello Dixit-Stiglitz alla macroeconomia o al commercio internazionale.

La soluzione a questo problema è presumibilmente

$$c_i = Ap_i^{1 \over {\theta-1}}$$ dove$A$è una costante scelta per garantire che il vincolo di bilancio sia soddisfatto.

Non sono molto soddisfatto delle derivazioni di questo risultato che usano i moltiplicatori di Lagrange in analogia con il caso di un numero finito di materie prime. Quale sarebbe un metodo completamente matematicamente rigoroso per derivare il risultato di cui sopra?

Appare chiaro che non esiste una soluzione unica poiché arbitrariamente cambiando i valori di per un numero finito di valori dei lascerà gli integrali nella funzione di utilità e vincolo di bilancio invariato. Mi aspetto che una derivazione completamente rigorosa possa anche individuare correttamente questo grado di non-unicità.$c_i$$i$

EDIT: in risposta ai commenti di @BKay, @Ubiquitous. Il mio problema di iniziare con economie con materie prime e di prendere il limite come n → ∞ è che questo deve essere accompagnato da un argomento che dimostra che il limite di optima è un ottimo del problema del limite. Gradirei un riferimento a un risultato che lo dimostra sia per questo particolare problema sia per un risultato generale applicabile a questo problema.$n$$n \to \infty$

In risposta a @AlecosPapadopoulos. Le prove del metodo del moltiplicatore di Langrange che viene insegnato in matematica per i corsi di economia sono di solito per un numero finito di variabili di scelta. Gradirei un riferimento a dove il metodo è giustificato per un continuum di variabili di scelta. Inoltre, la non unicità che menziono sopra mostra che il metodo non può essere esattamente giusto. Quindi quali sono esattamente le qualifiche richieste per la sua validità?

La cosa completamente rigorosa sarebbe scrivere l'equazione di Euler lagrange di questo problema di calcolo delle variazioni, questo ti darà una soluzione forte che è quello che hai o una soluzione debole che è scritta rispetto a una distribuzione.

Come ha osservato l'OP in un commento, il Teorema 1 nella sezione 12 di Kolomogorov e Calcolo delle variazioni di Fomin sembra fornire un certo conforto che possiamo effettivamente usare il metodo Moltiplicatore Langrange quando il numero delle nostre variabili è infinito. Tuttavia, gli autori lo fanno in una nota a piè di pagina, scrivendo "il lettore riconoscerà facilmente l'analogia con i moltiplicatori di Langrange". Quindi no, questo non mostra rigorosamente ciò che vogliamo.

Penso che ciò di cui abbiamo bisogno sia un documento come Craven, BD (1970). Una generalizzazione dei moltiplicatori di Lagrange. Bollettino della Australian Mathematical Society, 3 (03), 353-362. che nel suo sommario scrive:

Il metodo dei moltiplicatori di Lagrange per risolvere un problema di valore stazionario vincolato è generalizzato per consentire alle funzioni di assumere valori in spazi arbitrari di Banach (sul campo reale). L'insieme di moltiplicatori di Lagrange in un problema a dimensioni finite è mostrato per essere sostituito da una mappatura lineare continua tra i relativi spazi di Banach.

Questo è parlare in matematica ma dice quello che volevamo sentire (si può anche trovare una breve esposizione in Wikipedia nella misura in cui si fida del contenuto).

Quindi, possiamo formare il lagrangiano del problema

$$\Lambda = \int_0^1 c_i^\theta\,\text{d}i +\lambda\left(M - \int_0^1 p_i c_i\,\text{d}i\right)$$

e calcolare le condizioni del primo ordine, informalmente parlando, "guardando l'integrale e vedendo una somma",

$$\frac{\partial \Lambda}{\partial c_i} = 0 \Rightarrow \theta c_i^{\theta-1} = \lambda p_i, \;\; i \in [0,1] \tag{1}$$

... un continuum di condizioni. Per un uso successivo definiamo

$$\sigma \equiv 1/(1-\theta), \Rightarrow 1-\theta = 1/\sigma, \;\; \theta = \frac {\sigma-1}{\sigma}$$

$\sigma$

$(1)$$j$

$$c_i = \left(\frac {p_i}{p_j}\right)^{-\sigma}c_j \tag{2}$$

$p_i$$i$

$$\int_0^1 p_i c_i\,\text{d}i = \int_0^1 p_i^{1-\sigma}p_j^{-\sigma}c_j\,\text{d}i$$

$$\Rightarrow M = p_j^{\sigma}c_j\int_0^1 p_i^{1-\sigma}\,\text{d}i$$

$$\Rightarrow c_j = p_j^{-\sigma} \cdot M \cdot \left(\int_0^1 p_i^{1-\sigma}\,\text{d}i\right)^{-1} \tag{3}$$

$j$

Questa è solo un'elaborazione della risposta data da @ user157623. Lo sto pubblicando come wiki della community per comodità.

Teorema 1 della Sezione 12 di Kolmogorov e Calcolo delle variazioni di Fomin dice

$$J[y] = \int_a^b F(x,y,y')\,dx,$$ dove K $$y(a)=A,\quad y(b)=b, \quad K[y] = \int_a^bG(x,y,y')\,dx=l,$$ $K[y]$$J[y]$$y=y(x)$$y=y(x)$$K[y]$$\lambda$$y=y(x)$ $$\int_a^b (F+\lambda G)\,dx,$$ $y=y(x)$ $$F_y-\frac{d}{dx}F_{y'}+\lambda\left(G_y-\frac{d}{dx}G_{y'}\right)=0.$$

$x$$i$$c$$y$$F(i,c,c')=c^\theta$$G(i,c,c')=pc$

$$\theta c_i^{\theta-1} + \lambda p_i=0$$

$K[y]$$y(a)$$y(b)$$c$$c^*(i)$$c(0)=c^*(0), c(1)=c^*(1)$

L'unica cattura è nella natura del teorema stesso. Dà le condizioni necessarie per un ottimale. Dato che nel nostro caso la condizione necessaria dà un risultato unico, tutto ciò di cui abbiamo bisogno per renderlo sufficiente è sostenere che il nostro problema ha una soluzione.

Le prove in Kolmogorov-Fomin presumono che le funzioni con cui abbiamo a che fare abbiano derivati ​​derivati ​​continui. Quindi dobbiamo ancora dimostrare che il problema del consumatore ha un ottimale in questa classe di funzioni, ma dato che il problema è risolto.