Quale degli assiomi di Anscombe-Aumann implica il principio Sure-Thing?

Considera un'impostazione di Anscombe-Aumann e supponi che una relazione di preferenza soddisfi tutti gli assiomi di Anscombe-Aumann originali (razionalità, continuità, indipendenza e monotonia).

Se limitiamo l'attenzione alle corse di cavalli puri (vale a dire, agisce senza alcuna incertezza oggettiva), il modello Anscombe-Aumann si riduce a una rappresentazione dell'utilità attesa soggettiva alla Savage. Pertanto, durante le corse di cavalli puri, il decisore soddisfa tutti gli assiomi di Savage, in particolare il Principio Sure-Thing (P2 nella terminologia di Savage).

Non riesco a vedere la connessione diretta tra gli assiomi di Anscombe-Aumann e il Principio della verità. Qualcuno vede come il principio di sicurezza è implicito dagli assiomi di Anscombe-Aumann? In particolare, deriva solo dall'indipendenza o sono richiesti indipendenza e monotonia?

Come prima osservazione: gli assiomi Anscombe-Aumann, in particolare l'Indipendenza, sono definiti su atti che portano lo spazio degli stati in uno spazio lineare (generalmente lotterie semplici sugli oggetti di consumo). Anche quando consideriamo la restrizione del modello ad atti puramente soggettivamente incerti, dobbiamo comunque impiegare il modello completo o perderemo informazioni.

Detto questo: lasciamolo fare $S$ essere uno spazio a stati finiti, e $X$un insieme finito di alternative. Permettere$\Delta(X)$ denota tutte le lotterie $X$ e $f: S \to \Delta(X)$è un atto. Per un evento$E \subseteq S$, permettere $f_{-E}g$ essere l'atto definito da

$$f_{-E}g \begin{cases} f(s) \text{ if } x \in E \\ g(s) \text{ if } x \notin E. \end{cases}$$

Ora, possiamo dire che il nostro modello soddisfa il principio della cosa certa se$f_{-E}h \succsim g_{-E}h$ e $f_{-E^c}h \succsim g_{-E^c}h$ poi $f \succsim g.$ Questa definizione è valida per tutti gli atti, non solo per quelli senza rischio oggettivo, ma chiaramente si può considerare solo la proiezione pertinente.

Assumi l'antecedente dell'STP. A partire dal$f_{-E}h \succsim g_{-E}h$ e l'indipendenza lo abbiamo

$$\frac12 f_{-E}h + \frac12 f_{-E^c}h \succsim \frac12 g_{-E}h + \frac12 f_{-E^c}h.$$ Si noti che possiamo riscriverlo come $$\frac12 f + \frac12 h \succsim \frac12 g_{-E}f + \frac12h$$ e, applicando di nuovo l'indipendenza, otteniamo $$\begin{equation} \tag{1} f \succsim g_{-E}f. \end{equation}$$

In modo analogo, da $f_{-E^c}h \succsim g_{-E^c}h$ e l'indipendenza lo abbiamo

$$\frac12 f_{-E^c}h + \frac12 g_{-E}h \succsim \frac12 g_{-E^c}h + \frac12 g_{-E}h.$$ Ancora una volta, possiamo riscrivere come $$\frac12 g_{-E}f + \frac12 h \succsim \frac12 g + \frac12h$$ e, applicando di nuovo l'indipendenza, otteniamo $$\begin{equation} \tag{2} g_{-E}f \succsim g. \end{equation}$$

Combinando (1) e (2) tramite la transitività si ottengono le relazioni desiderate. Tornando all'osservazione prefatoria, nota che per applicare l'indipendenza, dobbiamo mescolare gli atti, facendo appello al rischio oggettivo. Quindi, anche quando$f$, $g$, e $h$non abbiamo alcun rischio oggettivo, abbiamo ancora bisogno di atti rischiosi per fungere da intermediario nella prova. In un certo senso, questa è la visione d'insieme dell'intero framework AA: usare il rischio oggettivo per aggirare la necessità di uno spazio di stato infinito usando la linearità delle aspettative per forzare l'STP.

Si noti che sono stati utilizzati solo indipendenza e transitività. Ciò dovrebbe indicare che anche l'UE dipendente dallo stato (in cui la monotonia / indipendenza dallo stato fallisce) o l'UE di Bewley (in cui la completezza è allentata) continuerà a soddisfare lo STP.

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Modifica in risposta a un commento: chiamiamo la nozione di cui sopra del principio Sicuramente STP1 e diciamo che la preferenza soddisfa STP2 se$f_{-E}h \succsim g_{-E}h \iff f_{-E}h' \succsim g_{-E}h'$ per tutti $f,g,h,h'$. Quindi se $\succsim$ è un preordine, soddisfa STP1 se e solo se soddisfa STP2.

Per prima cosa supponiamo che STP2 sia valido e quello $f_{-E}h \succsim g_{-E}h$ e $f_{-E^c}h \succsim g_{-E^c}h$. Quindi da STP2 abbiamo

$$f = f_{-E}f \succsim g_{-E}f \qquad \text{ and } \qquad g_{-E}f = f_{-E^c}g \succsim g.$$ La transitività implica $f \succsim g$; STP1 tiene.

Quindi, supponiamo che STP1 trattiene e $f_{-E}h \succsim g_{-E}h$. Definire$\hat f = f_{-E}h'$ e $\hat g$Analogamente. Per definizione

$$\hat f_{-E}h = f_{-E}h \qquad \text{ and } \qquad \hat g_{-E}h = g_{-E}h,$$ quindi il nostro presupposto è identico a quello $$\begin{equation} \tag{3} \hat f_{-E}h \succsim \hat g_{-E}h. \end{equation}$$ Ulteriore $\hat f_{-E^c}h = \hat g_{-E^c}h = h'_{-E}h$ così abbiamo, per la riflessività della preferenza, quella $$\begin{equation} \tag{4} \hat f_{-E^c}h \succsim \hat g_{-E^c}h. \end{equation}$$ Ora possiamo applicare STP1 a (3) e (4) per ottenerlo $\hat f \succsim \hat g$, che, data la loro definizione, è esattamente ciò di cui abbiamo bisogno per mostrare STP2.