Problema di ottimizzazione con condizioni di Kuhn-Tucker

Considera una partita con due giocatori in cui ogni giocatore $i=1,2$ ha preferenze $u_i=s_i^a c_i^{1−a}$ , dove $c_i$ è consumo e $s_i$ è interazione sociale. $s_i$ è data da $s_i=t_i+t_{ij}\times t_{ji}$ , dove $t_i$ è il tempo trascorso da giocatore $i$ solo e è il giocatore tempohotrascorre con il giocatorej. PlayerMideve decidere quanta parte del suo tempoTper allocare tra il lavoro, avendo tempo da solo, t io , e l'interazione sociale t i j . Supponi che per ogni ora, il giocatoreilavora, che guadagna il salariowe supponi che il prezzo del bene di consumo c i sia normalizzato ap=1.$t_{ij}$$i$$j$$i$$T$$t_i$$t_{ij}$$i$$w$$c_i$$p=1$

Definisci attentamente il problema di ottimizzazione per il giocatore 1. Scrivi le condizioni di Kuhn-Tucker e discuti di queste condizioni. Spiega perché il giocatore 1 deve affrontare una situazione strategica. Trova le funzioni di risposta migliore per i giocatori 1 e 2. Rappresenta graficamente queste funzioni.

La mia soluzione:

$L = s_i^a c_i^{1-a} - \lambda(c_i + s_i - (T-s_i)w) + \mu (c_i + s_i - T)$

FOC:

$\frac{\partial L}{\partial \lambda} = c_i + s_i - (T - s_i)w = 0$

$\frac{\partial L}{\partial s_i} = a s_i^{a-1} c_i^{1-a} - \lambda(1+w) +\mu = 0$

$\frac{\partial L}{\partial c_i} = (1-a) s_i^a c_i^{-a} - \lambda +\mu = 0$

$\frac{\partial L}{\partial \mu} = c_i + s_i - T = 0$

Seguendo questa procedura, non posso arrivare alla soluzione. Per favore, condividi le tue idee con me.

Risolvendo che ottengo:

$1$

$$\max_{0 \leq t_{12} \leq T} \ \ \left(T-t_{12} + t_{12}t_{21}\right)^a \left(w(T-t_{12})\right)^{1-a}$$

Un modo equivalente per risolvere il problema sopra è massimizzare il dell'obiettivo, cioè si può risolvere$\log$

$$\max_{0 \leq t_{12} \leq T} \ \ a\ln\left(T-t_{12} + t_{12}t_{21}\right) +(1-a)\ln \left(w\right) + (1-a)\ln \left(T-t_{12}\right)$$

Risolvendolo otteniamo la migliore funzione di risposta del giocatore 1 come

$$\begin{eqnarray*} t_{12} = \begin{cases} 0 & \text{if } t_{21} \leq\frac{1}{a} \\ \frac{T(at_{21}-1)}{(t_{21}-1)} & \text{if } t_{21} > \frac{1}{a} \end{cases} \end{eqnarray*}$$

Allo stesso modo, la migliore funzione di risposta del giocatore 2 è

$$\begin{eqnarray*} t_{21} = \begin{cases} 0 & \text{if } t_{12} \leq \frac{1}{a} \\ \frac{T(at_{12}-1)}{(t_{12}-1)} & \text{if } t_{12} \geq \frac{1}{a} \end{cases} \end{eqnarray*}$$

Ora puoi risolvere le risposte migliori per ottenere gli equilibri di Nash.