Esempio di una relazione di preferenza razionale e continua che non ammette una rappresentazione di utilità

È noto che una relazione di preferenza razionale, continua e monotona definita su ammette una rappresentazione di utilità.$\succeq$$\mathbb{R}^L$

Vorrei capire perché è richiesta la monotonicità. In altre parole, qual è un esempio di una relazione di preferenza razionale e continua ma non monotona che non ha una rappresentazione di utilità?

Una condizione necessaria affinché una relazione di preferenza sia rappresentata da una funzione di utilità è che la relazione di preferenza è razionale (dove una "funzione di utilità" è una funzione a valore reale che assegna un valore numerico superiore o uguale al gruppo A che al gruppo B, quando A è debolmente preferito a B).

Le preferenze sono razionali quando sono complete (posso esprimere le mie preferenze per tutti i gruppi immaginabili) e transitive (se preferisco debolmente A a B e B a C, allora preferisco debolmente A a C).

Data la razionalità, una condizione sufficiente è che la relazione di preferenza razionale sia continua , vale a dire se viene mantenuta sotto limiti.

Quindi, anche la relativa funzione di utilità è continua.

La monotonicità è una proprietà in cui passiamo dalle quantità alle preferenze, dopo aver assunto la desiderabilità ("beni" anziché "cattivi"). La non associazione locale è in realtà il presupposto più debole necessario per la maggior parte della teoria.