C'è un modo per collegare il teorema di Berge del massimo al teorema di Envelope?

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Il teorema di Berge afferma

Lascia che , sia una funzione congiuntamente continua, sia un continuo (entrambi Corrispondenza compatta e valorizzata emicontinua superiore e inferiore. La funzione del valore massimizzato e il massimizzatore sono Quindi è continuo e è emicroma superiore. $X \in \mathbb R^m, \Theta \in \mathbb R^n$ $f : X \times \Theta \to \mathbb R$ $C : \Theta \rightrightarrows X$
$V (θ) := max_{x \in X} f (x, θ)$ $V(\theta) := \max_{x \in X}f(x, \theta)$ $C^{*} (θ) := {x \in C (θ) ∣ f (x, θ) = V (θ)}$ $C^\ast(\theta):=\{x \in C(\theta) \mid f(x, \theta )=V(\theta)\}$ $V : \Theta \to \mathbb R$ $C^\ast :\Theta \rightrightarrows X$

Secondo l'analisi microeconomica di Varian (1992), pagina 490, il teorema di Envelope è semplicemente:

$\frac{d M (a)}{d a} = \frac{\partial f (x, a)}{\partial a} ∣_{x = x (a)}$ $\frac{dM(a)}{da}=\frac{\partial f(x,a)}{\partial a}\mid_{x=x(a)}$

$x(a)$ è il massimizzatore di $f(\cdot, a)$ .

Mi sembra che il teorema di Envelope implichi il teorema di Berge, ma la derivazione sembra molto più semplice. C'è una relazione tra i due?

mathematical-economics academic-graduate optimization

— Epicuro
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Non sembra che i due si occupino dello stesso obiettivo. Berge's stabilisce le proprietà della funzione value e dell'insieme di massimizzatori. Envelope si preoccupa di mostrare quale sia l'effetto della variazione di un parametro ... forse potresti approfondire il tipo di connessione tra i due che ti incuriosisce.

— Alecos Papadopoulos,

@AlecosPapadopoulos Mi scuso per la vaghezza della mia domanda. Ora ho scoperto che questa ricerca derivava dalla mia vaga memoria della proposizione 2 a Lucas (1978). Ora posso formularlo più precisamente. Quale tipo di condizioni sulla funzione di utilità e sul vincolo ci consente di applicare il teorema dell'inviluppo solo dopo aver stabilito la continuità della funzione del valore dal teorema di Berge? people.hss.caltech.edu/~pbs/expfinance/Readings/Lucas1978.pdf

— Epicuro

Non penso che sia necessario "stabilire la continuità della funzione valore" per utilizzare il teorema dell'inviluppo. Pensa che la parte chiave sia il punto sul controllo . Vedi Teorema 2 sulla pagina di Wikipedia. Lì, la continuità di V è il risultato. In ogni caso, la pagina di Wikipedia indica i teoremi per intero. Ti dirà cosa devi assumere per usare il teorema. en.wikipedia.org/wiki/Envelope_theorem

C^{*}

$C^*$

— jmbejara,

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Sono collegati e di solito rientrano nella stessa discussione, ma come menziona @Alecos nei commenti, i due teoremi mostrano cose diverse.

Suppongo che la connessione che stai cercando sia il fatto che se la derivata esiste, quindi poiché la differenziabilità implica la continuità, potresti essere in grado di trarne una parte del massimo. Tuttavia, per confrontare e contrastare due teoremi non devi solo guardare i risultati. È necessario esaminare anche le ipotesi. Ad esempio, il teorema del massimo non assume alcun tipo di differenziabilità. Il teorema dell'involucro lo fa (almeno alcune sue forme). In ogni caso, i presupposti che entrano in ciascuno sono diversi (alcuni più forti, altri più deboli).

{\frac{\partial f (x, a)}{\partial a} |}_{x = x (a)}

$\left .\frac{\partial f(x, a)}{\partial a} \right |_{x=x(a)}$

Inoltre, c'è questo. Il teorema della busta non ti dice nulla sulla funzione di controllo. Pertanto, sicuramente non sarai in grado di ottenere il risultato che è emicontinuo superiore. $C^*$

— jmbejara
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Citando l'OP da un commento

Quale tipo di condizioni sulla funzione di utilità e sul vincolo ci consente di applicare il teorema dell'inviluppo solo dopo aver stabilito la continuità della funzione del valore dal teorema di Berge? people.hss.caltech.edu/~pbs/expfinance/Readings/Lucas1978.pdf

Nel documento di riferimento Lucas (1978), la Proposizione 1 lo stabilisce

inserisci qui la descrizione dell'immagine

dove è la funzione valore e è la sua definizione. Quindi sembra che sia la continuità della funzione Prezzo che viene individuata come condizione qui, ma in precedenza nel documento Lucas definisce la funzione Utilità come una funzione non negativa che è $v(z,y;p)$ $(i)$

continuamente differenziabile, limitato, crescente e rigorosamente concavo

La proposizione 2 dell'articolo stabilisce la differenziabilità della funzione valore, senza richiedere ulteriori ipotesi.

— Alecos Papadopoulos
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