Equazioni fondamentali in economia

Per le altre scienze è facile indicare le equazioni più importanti che fondano la disciplina. Se voglio spiegare l'economia a un fisico, dire quali sono le equazioni più importanti alla base della materia che dovrei introdurre e tentare di spiegare?

Invece di proporre equazioni specifiche, indicherò due concetti che portano a equazioni specifiche per specifici assetti teorici:

A) Equilibrio
Il concetto più fondamentale e incompreso in Economia. Le persone si guardano intorno e vedono un movimento costante - quanto può essere più irrilevante un concetto di "equilibrio"? Quindi il lavoro qui è quello di trasmettere che l'economia modella l'osservazione che le cose tendono per lo più a "sistemarsi", quindi caratterizzando questo "punto fisso", ci dà un'ancora per comprendere i movimenti all'esterno e attorno a questo equilibrio (che può cambiare ovviamente).

E ' non è il caso che " la quantità offerta eguaglia la quantità domandata " (qui è un'equazione fondamentale)

ma è il caso che l'offerta tende ad eguagliare la domanda (di qualsiasi cosa ) per ragioni che ogni economista dovrebbe essere in grado di presentare in modo convincente a chiunque sia interessato all'ascolto (e nel profondo tutti hanno a che fare con risorse limitate).

Inoltre, determinando le condizioni per l'equilibrio, possiamo capire, quando osserviamo la divergenza, quali condizioni sono state violate.

B) Ottimizzazione marginale sotto vincoli
In un ambiente statico , porta all'equazione di quantità marginali / primi derivati ​​di funzioni.
Mercato merci: il ricavo marginale equivale al costo marginale .
Mercato degli input: il prodotto a reddito marginale equivale alla ricompensa marginale (affitto, salario).
Ecc. (Ho lasciato di proposito la "massimizzazione dell'utilità" fuori dall'immagine perché, qui prima si dovrebbe presentare di cosa tratta questo "indice di utilità" e quanto siamo pazzi ( non ), cercando di modellare l'umano " godimento "attraverso il concetto di utilità).

Forse potresti coprire tutto sotto l'ombrello "beneficio marginale uguale costo marginale" come suggerito da altre domande:

Gli economisti vivono in un'ottimizzazione marginale e la maggior parte lo considera evidente. Ma se provi a spiegarlo a un estraneo, c'è una rispettabile probabilità che obietterà o rimarrà non convinto, invece di solito propone "ottimizzazione media" come "più realistica", dal momento che "le persone non calcolano le derivate" (non sostengono che lo fanno, solo che i loro processi di pensiero possono essere modellati come se lo fossero). Quindi bisogna chiarire la sua storia sull'ottimizzazione marginale, con esempi convincenti e una discussione sul "perché non l'ottimizzazione media".

In un contesto intertemporale , porta a un compromesso scontato tra "il presente e il futuro", di nuovo "al margine", a partire dalla "equazione di Eulero nel consumo" , che nella sua discreta versione deterministica legge

... e non si può evitare il tema dell'utilità, dopotutto: è un'utilità marginale dal consumo, 0 < β < 1 è un tasso di sconto e r t + 1 è il tasso di interesse$u'()$$0<\beta<1$$r_{t+1}$

( non consultare l'articolo di Wikipedia sull'equazione di Eulero nel consumo, il concetto alla base è molto più generalmente applicabile e fondamentale rispetto all'applicazione specifica di cui l'articolo di Wikipedia discute).

È interessante notare che, sebbene l'economia dinamica sia tecnicamente più impegnativa, trovo questo più intuitivamente accattivante poiché le persone sembrano capire molto meglio "ciò che risparmi oggi determinerà ciò che consumerai domani", di "il tuo salario sarà il prodotto marginale delle entrate di tutti manodopera ".

Come è già stato detto, l'equazione fondamentale PIÙ è sicuramente:

EDIT: questa equazione è fondamentale in termini di pensiero degli economisti. Come sottolineato nei commenti seguenti, in termini di equazioni fondamentali dei modelli economici, le equazioni più fondamentali descrivono le equivalenze tra usi e forniture di oggetti (denaro, beni, ecc.). Questi forniscono la tensione del lato del costo marginale di questa equazione.

Aggiungerei equazioni relative alla statica comparativa:

• Teorema della busta $$V^\prime(y)=f_y(x,y)$$
• Analisi "delta" , come descritto nelle Fondamenti dell'analisi economica di Samuelson: (esamina le risposte dei produttori che prendono i prezzi in termini di vettori di produzione y e usi degli input x , ai loro prezzi p e w , essenzialmente rivelato preferenza per i produttori) $$\Delta p\Delta y-\Delta w\Delta x\geq0$$ $y$$x$$p$$w$
• Preferenza rivelata

Se possiamo rivendicare teorici o matematici di giochi le cui equazioni usiamo costantemente:

• Condizioni di Karush-Kuhn-Tucker , in particolare la lentezza complementare. Non esiste una singola equazione per la programmazione lineare, ma penso che anche econ abbia una pretesa di Kantorovich. \ Stazionarietà: Fattibilità primaria: g i ( x ∗ ) ≤ $$\nabla f(x^*) = \sum_{i=1}^m \mu_i \nabla g_i(x^*) + \sum_{j=1}^l \lambda_j \nabla h_j(x^*)$$ h j ( x ∗ ) = 0 ,  per tutti  j = 1 , … , $$g_i(x^*) \le 0, \mbox{ for all } i = 1, \ldots, m$$ $$h_j(x^*) = 0, \mbox{ for all } j = 1, \ldots, l \,\!$$ Doppia fattibilità: Allentamento complementare: μ i g i ( x ∗ ) = 0 , $$\mu_i \ge 0, \mbox{ for all } i = 1, \ldots, m$$ $$\mu_i g_i (x^*) = 0, \mbox{for all}\; i = 1,\ldots,m.$$
• Equilibrio di Nash $$\theta_{i}^\star = \arg \max_{\theta_i} u_i(\theta_i ,\theta_{-i}^\star)$$
• Principio di rivelazione : che per essere onesti non è tanto un'equazione quanto un teorema ...
• Equazione di Bellman $$V(x)=\max_{c\in\Omega(x)} U(x,z)+\beta\left[V(x^\prime)\right]$$

La maggior parte dell'intro econ sono linee intersecanti. In particolare,

L'economia riguarda la logica del comportamento umano, il modo in cui prendiamo decisioni in un mondo di scarsità. Queste equazioni descrivono l'ottimizzazione vincolata sotto alcune assunzioni usuali come continuità, preferenze convesse e nessuna soluzione angolare. Darei inoltre risalto alla teoria del consumatore rispetto al produttore. La maggior parte della teoria dei produttori universitari può essere compresa con gli stessi strumenti utilizzati nella teoria dei consumatori.

Penso che una delle equazioni più importanti (almeno nell'ambito della macroeconomia) sia:

Questa equazione è stata utilizzata per derivare molti risultati fondamentali. Questa equazione ha motivato il limite di Hansen-Jagannathan . È fondamentale anche per i prezzi delle attività.

$m = \beta E_t \left[ \frac{u'(c_{t+1})}{u'(c_t)} \right]$

• $\beta R = 1$$c_t = E [c_{t+1}]$
• $R_t^{-1} = p_t = E \left[ \frac{u'(c_{t+1})}{u'(c_t)} \right]$

Una volta ho sentito Roger Myerson parlare del perché pensava che l'economia, come scienze sociali, avesse avuto così tanto successo nell'applicare (o abbia così facilmente incorporato) la matematica. Ha suggerito che forse era dovuto ad alcune delle linearità fondamentali all'interno del mondo. Due esempi sarebbero i vincoli di bilanciamento del flusso di merci scarse (vincoli di merci) e le condizioni di non arbitraggio. Questi sono vincoli fondamentalmente lineari.

• È importante sottolineare l'importanza di questi perché possiamo ottenere una quantità sorprendente dai due. Ad esempio, molte persone pensano che la legge della domanda sia una conseguenza dell'assunzione della razionalità (in particolare, delle preferenze che mostrano un tasso marginale di sostituzione decrescente). Un risultato dovuto a Gary Becker mostra che la legge della domanda (sebbene solo una versione leggermente più debole) può essere derivata dal solo vincolo di bilancio . (Vedi Becker 1962, " Comportamento irrazionale e teoria economica "). Cioè, questo risultato economico fondamentale può essere derivato dalla realtà delle risorse scarse da solo --- senza assumere razionalità.

• La condizione di non arbitraggio è un'applicazione del teorema della dualità lineare ( lemma di Farkas ). Molti aspetti economici e finanziari (asset pricing) possono essere fatti semplicemente supponendo che nell'equilibrio economico non vi siano arbitraggi.

Note extra:

Gary Becker ha fatto molti progressi nel campo studiando come i vincoli influenzano il comportamento umano. Una citazione famosa, presa dalla sua lezione sul premio Nobel, è l'osservazione che "vincoli diversi sono decisivi per situazioni diverse, ma il vincolo più fondamentale è il tempo limitato". (Alcune discussioni qui .) Altre risorse su come il suo lavoro al riguardo può essere trovato qui e qui .

La dualità lineare può essere utilizzata per descrivere la condizione di non arbitraggio. Più in generale, questo teorema è in genere dimostrato con teorema di separazione iperpiano , che è uno strumento matematico che appare molto nei libri di testo di economia.

Inoltre, tieni presente che è sufficiente supporre che nell'equilibrio economico non vi sia circa alcun arbitraggio.

Anche se concordo con Jyotirmoy Bhattacharya sul fatto che le idee più interessanti in economia non siano sempre espresse al meglio attraverso le equazioni, voglio comunque menzionare la legge della domanda di Slutsky o compensata dalla teoria del consumatore

$p',p \in \mathbb{R}_{++}^n$$w \in \mathbb{R}_+$$x(\cdot,\cdot) \in \mathbb{R}^n$

La relazione sottostante è un paio di ordini di certezza lontani dalle equazioni fondamentali in altri campi. Inoltre, non fonda la disciplina, nel senso che non viene usata molto spesso.

Tuttavia, tendo a vederlo come fondamentale perché

• È una conseguenza assolutamente non banale di tre ipotesi semplici e fondamentali nella teoria del consumatore, vale a dire,
  • $x(\cdot,\cdot)$
  • Legge di Walras (le persone non bruciano soldi)
  • Il debole assioma delle preferenze rivelate (se hai scelto A quando B è disponibile "oggi", non sceglierai B "domani" se A rimane disponibile)
• Pertanto testare la disuguaglianza equivale a testare queste tre ipotesi congiuntamente.
• Le tre ipotesi sono utilizzate nella stragrande maggioranza (forse più del 90%?) Dei modelli, compresi i consumatori nella teoria economica.
• La loro validità (almeno come approssimazioni) è quindi cruciale per la validità della maggior parte dei modelli nella teoria economica (almeno come approssimazioni).
• Sebbene non sia sempre ovvio come mettere in relazione le nozioni di prezzi, beni e reddito con osservabili, tutti gli elementi dell'equazione sono osservabili in linea di principio (al contrario dei livelli di utilità per esempio) e la validità della disuguaglianza può quindi essere verificata empiricamente .

Non penso che ci siano equazioni economiche con lo stesso status, per esempio, delle equazioni di Maxwell in fisica. Al suo posto abbiamo concetti come il principio equimarginale, l'equilibrio competitivo o l'equilibrio di Nash che sono al centro dell'approccio "economista". Ma penso che il vero valore dell'economia non sia nemmeno in queste idee stesse, ma in ciò che sappiamo di problemi concreti in specifiche aree di applicazioni: ad esempio ciò che sappiamo sui cicli economici in macro. In questa economia può essere più simile alla medicina che alla fisica.

Per me, uno dei più importanti è il vincolo di bilancio. Potrebbe sembrare troppo ovvio ma molti laici (anche se forse non un fisico) non capiscono!

$p⋅x \leq w$

$p$$c$$\eta$

Questa non è solo una formulazione elegante della soluzione del problema dell'azienda, ma è anche praticamente utile:

• $\eta$$c$
• $p$$\eta$$c$

È già scritto ma l'equazione di Eulero in tempo continuo produce

$\sigma$$r$$\rho$

Il fondamento dell'economia intertemporale è l' equazione del valore attuale netto . Cioè, il valore attuale netto di un flusso di reddito futuro sono i redditi annuali divisi per un fattore di sconto adeguato, basato sul tasso di interesse prevalente, r, portato all'ennesima potenza, dove n è il numero di anni.

Bene per la microeconomia ce ne sono diversi, tuttavia tutti seguono lo stesso schema.

Qui cercherò di insegnare un intero corso intermedio di microeconomia in un posto.

La maggior parte dei problemi di microeconomia segue questo formato:

Anche se tralasciando alcuni dettagli minori, se fai abbastanza pratica di microeconomia, i problemi finiscono per sembrare uguali dopo un po '. Questo è ciò che devo condividere.

Funzioni di produzione / utilità

Esistono tre tipi principali di funzioni di utilità / produzione a cui sarai esposto in un corso intermedio di microeconomia ¹ . Loro sono:

1. 
   $$f(x_1,x_2)=x_1^ax_2^b$$
2. 
   $$f(x_1,x_2)=\min\{x_1,x_2\}$$
3. $$f(x_1,x_2)=x_1+x_2$$

Linee di bilancio e funzioni di costo

Nella teoria del consumatore, hai una linea di bilancio rappresentata dalla formula:

vogliamo massimizzare il consumo dato una funzione budget / cost o minimizzare i costi mantenendo costante il livello di utility / output. Per fare questo usiamo un'altra equazione:

Il moltiplicatore lagrangiano:

Sebbene non sia esclusivo dello strumento economico, ad esempio, è lo strumento principale di tutti gli studenti intermedi di microeconomia.

$H-g(x_1,x_2)$

Lo usiamo per calcolare utilità / profitto massimizzando i pacchetti / input di consumo o minimizzando i costi tenendo costante il profitto / utilità.

E questo è un impacco! *

_{* Sebbene ci sia cosa dire sulle richieste marshalliane e hicksian, lo lascerò per gli altri da compilare.}