Come posso ottenere la funzione di produzione Leontief e Cobb-Douglas dalla funzione CES?

Nella maggior parte dei libri di testo di Microeconomia si dice che la funzione di produzione di elasticità costante di sostituzione (CES),

Q = γ [a K^{- ρ} + (1 - a) L^{- ρ}]^{- \frac{1}{ρ}}

$Q=\gamma[a K^{-\rho} +(1-a) L^{-\rho} ]^{-\frac{1}{\rho}}$

(dove l'elasticità della sostituzione è $\sigma = \frac 1{1+\rho},\rho > -1$ ), ha come limiti sia la funzione di produzione Leontief che quella di Cobb-Douglas. In particolare,

lim_{ρ \to \infty} Q = γ min {K, L}

$\lim_{\rho\to \infty}Q= \gamma \min \left \{K , L\right\}$

lim_{ρ \to 0} Q = γ K^{a} L^{1 - a}

$\lim_{\rho\to 0}Q= \gamma K^aL^{1-a}$

Ma non forniscono mai la prova matematica per questi risultati.

Qualcuno può fornire queste prove?

Inoltre, la suddetta funzione CES incorpora rendimenti di scala costanti (omogeneità di grado uno), poiché l'esponente esterno è . Se lo fosse, diciamo , allora il grado di omogeneità sarebbe . $-1/\rho$ $-k/\rho$ $k$

Come vengono influenzati i risultati limitanti se ? $k\neq 1$

— Huseyin
fonte

Questa sembra essere una domanda a casa senza precedenti sforzi per risolverla, vedi: meta.economics.stackexchange.com/questions/24/…

— FooBar

È certamente un argomento in argomento, ma una domanda di bassa qualità . Anche se non si tratta di compiti a casa Huseyin, ci aspettiamo da te a) Stai attento con la tua notazione (hai usato e ) eb) Contribuisci con alcuni pensieri e modi in cui hai provato a risolvere il problema. Siamo qui per aiutare le persone che si aiutano e non per offrire servizi professionali pro bono.

ρ

$\rho$

p

$p$

— Alecos Papadopoulos,

La matematica fa le cose in modo diverso praticamente per tutto il resto della rete di stackexchange. Solo su math.se puoi inviare problemi che altre persone possono risolvere senza mostrare sforzo. Si prega di salvare questo tipo di domanda per math.se, non qui.

— EnergyNumbers

Quando dici "Ho bisogno di provare" senza alcuna indicazione del motivo per cui devi dimostrarlo, la gente supporrà che si tratti di compiti a casa.

— Steven Landsburg,

@Huseyin Ora che la domanda è stata riaperta e che è stata fornita una risposta, non pubblichi la tua risposta per il limite di Cobb-Douglas?

— Alecos Papadopoulos,

Risposte:

Le prove che presenterò si basano su tecniche pertinenti al fatto che la funzione di produzione CES ha la forma di una media ponderata generalizzata .
Questo è stato usato nel documento originale in cui è stata introdotta la funzione CES, Arrow, KJ, Chenery, HB, Minhas, BS e Solow, RM (1961). Sostituzione del capitale-lavoro ed efficienza economica. The Review of Economics and Statistics, 225-250.
Gli autori hanno indirizzato i loro lettori al libro Hardy, GH, Littlewood, JE e Pólya, G. (1952). Disuguaglianze , capitolo $2$ .

Consideriamo il caso generale

Q_{k} = γ [a K^{- ρ} + (1 - a) L^{- ρ}]^{- \frac{k}{ρ}}, k > 0

$Q_k=\gamma[a K^{-\rho} +(1-a) L^{-\rho} ]^{-\frac{k}{\rho}},\;\; k>0$

\Rightarrow γ^{- 1} Q_{k} = \frac{1}{[a (1 / K^{ρ}) + (1 - a) (1 / L^{ρ})]^{\frac{k}{ρ}}}

$\Rightarrow \gamma^{-1}Q_k = \frac 1{[a (1/K^{\rho}) +(1-a) (1/L^{\rho}) ]^{\frac{k}{\rho}}}$

1) Limite quando $\rho \rightarrow \infty$
Dato che siamo interessati al limite quando possiamo ignorare l'intervallo per il quale e trattare come strettamente positivo. $\rho\rightarrow \infty$ $\rho \leq0$ $\rho$

Senza perdita di generalità, assumere . Abbiamo anche . Quindi verifichiamo che valga la seguente disuguaglianza: $K\geq L \Rightarrow (1/K^{\rho})\leq (1/L^{\rho})$ $K, L >0$

(1 - a)^{k / ρ} (1 / L^{k}) \leq γ Q_{k}^{- 1} \leq (1 / L^{k})

$(1-a)^{k/\rho}(1/L^{k})\leq \gamma Q_k^{-1} \leq (1/L^{k})$

\begin{matrix} (1) & ⟹ (1 - a)^{k / ρ} (1 / L^{k}) \leq [a (1 / K^{ρ}) + (1 - a) (1 / L^{ρ})]^{\frac{k}{ρ}} \leq (1 / L^{k}) \end{matrix}

$\implies (1-a)^{k/\rho}(1/L^{k})\leq [a (1/K^{\rho}) +(1-a) (1/L^{\rho}) ]^{\frac{k}{\rho}} \leq (1/L^{k}) \tag{1}$

$\rho/k$

\begin{matrix} (2) & (1 - a) (1 / L^{ρ}) \leq a (1 / K^{ρ}) + (1 - a) (1 / L^{ρ}) \leq (1 / L^{ρ}) \end{matrix}

$(1-a)(1/L^{\rho}) \leq a (1/K^{\rho}) +(1-a) (1/L^{\rho}) \leq (1/L^{\rho}) \tag {2}$

(1)

$(1)$

lim_{ρ \to \infty} (1 - a)^{k / ρ} (1 / L^{k}) = (1 / L^{k})

$\lim_{\rho\rightarrow \infty} (1-a)^{k/\rho}(1/L^{k}) =(1/L^{k})$

$(1)$ $(1/L^{k})$

\begin{matrix} (3) & lim_{ρ \to \infty} Q_{k} = \frac{γ}{1 / L^{k}} = γ L^{k} = γ [min {K, L}]^{k} \end{matrix}

$\lim_{\rho\rightarrow \infty}Q_k = \frac {\gamma }{1/L^k} = \gamma L^k = {\gamma }\big[\min\{K,L\}\big]^{k} \tag{3}$

$k=1$

$\rho \rightarrow 0$

\begin{matrix} (4) & γ^{- 1} Q_{k} = \exp {- \frac{k}{ρ} \cdot \ln [a (K^{ρ})^{- 1} + (1 - a) (L^{ρ})^{- 1}]} \end{matrix}

$\gamma^{-1}Q_k=\exp\left\{-\frac k{\rho}\cdot \ln\big[a (K^{\rho})^{-1} +(1-a) (L^{\rho})^{-1}\big]\right\} \tag {4}$

$\rho$

a (K^{ρ})^{- 1} + (1 - a) (L^{ρ})^{- 1} = a (K^{0})^{- 1} + (1 - a) (L^{0})^{- 1} - a (K^{0})^{- 2} K^{0} ρ \ln K - (1 - a) (L^{0})^{- 2} L^{0} ρ \ln L + O (ρ^{2})

$a (K^{\rho})^{-1} +(1-a) (L^{\rho})^{-1} \\= a (K^{0})^{-1} +(1-a) (L^{0})^{-1} -a (K^{0})^{-2}K^{0}\rho\ln K- (1-a) (L^{0})^{-2}L^{0}\rho\ln L + O(\rho^2) \\$

= 1 - ρ a \ln K - ρ (1 - a) \ln L + O (ρ^{2}) = 1 + ρ [\ln K^{- a} L^{- (1 - a)}] + O (ρ^{2})

$=1 - \rho a\ln K - \rho(1-a)\ln L+ O(\rho^2) = 1 +\rho \big[\ln K^{-a}L^{-(1-a)}\big]+ O(\rho^2)$

$(4)$

γ^{- 1} Q_{k} = {(1 + ρ [\ln K^{- a} L^{- (1 - a)}] + O (ρ^{2}))}^{- k / ρ}

$\gamma^{-1}Q_k = \left(1 +\rho \big[\ln K^{-a}L^{-(1-a)}\big]+ O(\rho^{2})\right)^{-k/\rho}$

$r\equiv 1/\rho$

γ^{- 1} Q_{k} = {(1 + \frac{[\ln K^{- a} L^{- (1 - a)}]}{r} + O (r^{- 2}))}^{- k r}

$\gamma^{-1}Q_k = \left(1 +\frac{\big[\ln K^{-a}L^{-(1-a)}\big]}{r}+ O(r^{-2})\right)^{-kr}$

Ora sembra un'espressione il cui limite all'infinito ci darà qualcosa di esponenziale:

lim_{ρ \to 0} γ^{- 1} Q_{k} = lim_{r \to \infty} γ^{- 1} Q_{k} = {(\exp {\ln K^{- a} L^{- (1 - a)}})}^{- k}

$\lim_{\rho\rightarrow 0}\gamma^{-1}Q_k = \lim_{r\rightarrow \infty}\gamma^{-1}Q_k = \left(\exp\left\{ \ln K^{-a}L^{-(1-a)}\right\} \right)^{-k}$

\Rightarrow lim_{ρ \to 0} Q_{k} = γ {(K^{a} L^{1 - a})}^{k}

$\Rightarrow \lim_{\rho\rightarrow 0}Q_k =\gamma\left(K^{a}L^{1-a}\right)^k$

$k$ $k=1$

$a$

— Alecos Papadopoulos
fonte

Il metodo regolare per ottenere Cobb-Douglas e Leotief è la regola di L'Hôpital .

$\gamma=1$ $Q=[a K^{-\rho} +(1-a) L^{-\rho} ]^{-\frac{1}{\rho}}$

Q^{- ρ} = [a K^{- ρ} + (1 - a) L^{- ρ}]

$Q^{-\rho}=[a K^{-\rho} +(1-a) L^{-\rho} ]$

- ρ Q^{- ρ - 1} d Q = - a ρ K^{- ρ - 1} d K - (1 - a) ρ L^{- ρ - 1} d L

$-\rho Q^{-\rho-1}dQ=- a\rho K^{-\rho-1}dK -(1-a)\rho L^{-\rho-1}dL$ Con alcune manipolazioni si otterrà la nostra equazione principale.

d Q = a {(\frac{Q}{K})}^{1 + ρ} d K + (1 - a) {(\frac{Q}{L})}^{1 + ρ} d L

$dQ= a {(\frac{Q}{ K})}^{1+\rho}dK +(1-a){(\frac{Q}{ L})}^{1+\rho}dL$

$\lim_{\rho\to -1}{dQ}\Rightarrow Q=aK+(1-a)L$

lim_{ρ \to 0} d Q \Rightarrow \frac{1}{Q} d Q = a (\frac{1}{K}) d K + (1 - a) (\frac{1}{L}) d L

$\lim_{\rho\to 0}{dQ}\Rightarrow \frac{1}{Q}dQ= a {(\frac{1}{ K})} dK +(1-a){(\frac{1}{ L})} dL$

\int \frac{1}{Q} d Q = a \int (\frac{1}{K}) d K + (1 - a) \int (\frac{1}{L}) d L

$\int\frac{1}{Q}dQ= a \int {(\frac{1}{ K})} dK +(1-a)\int{(\frac{1}{ L})} dL$

Q = K^{a} L^{(1 - a)} e^{C} = A K^{a} L^{(1 - a)}

$Q=K^a L^{(1-a)}e^{C}=AK^a L^{(1-a)}$

$\lim_{\rho\to \infty}{dQ}\Rightarrow min(aK,(1-a)L)$

— Huseyin
fonte

(+1) Mi piace soprattutto come si ottiene la funzione Cobb-Douglas.

— Alecos Papadopoulos,

Grazie @AlecosPapadopoulos. ma non so perché alcuni utenti non apprezzino ancora questo post? Penso che questo tipo di domande possa fornirmi almeno una tempesta di cervello.

— Huseyin,

A rigor di termini Huseyin, hanno ragione: avresti dovuto includere almeno una parte della tua risposta nella tua domanda : "ecco il mio modo di fare le cose, c'è un altro modo?"

— Alecos Papadopoulos,

Prendere un differenziale e integrare "equivale" a prendere un limite? In generale, possiamo prendere il differenziale e integrarci per trovare un limite? O è un'applicazione speciale?

— PGupta,