Quando si può parlare in sicurezza della riduzione dell'utilità marginale?

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Una cosa che sento molto è parlare di una riduzione dell'utilità marginale - l'idea è che unità aggiuntive di un bene diventano progressivamente meno attraenti più unità di quel bene hanno già.

Tuttavia, questo mi ha sempre messo un po 'a disagio a causa dell'ordinalità dell'utilità. Se prendiamo il banale caso di un mondo in cui esiste solo un bene con l'utilità soddisfa (utilità marginale decrescente), allora è chiaramente possibile costruire una funzione crescente tale che sia lineare in . Inoltre, poiché le funzioni di utilità sono invarianti alle trasformazioni monotone-crescenti, è una funzione di utilità che rappresenta le stesse preferenze di (ma ora ha un'utilità marginale costante). Quindi, in un mondo con un solo bene sembra che non abbia mai senso parlare di utilità marginale decrescente. $u(x)$ $u'(x),\ u''(x)<0$ $f$ $(f\circ u)$ $x$ $(f\circ u)$ $u$

La mia domanda è questa: considera un mercato con $L>1$ merce. Esiste una condizione formale in cui possiamo tranquillamente parlare di riduzione dell'utilità marginale? Vale a dire, esiste una classe di preferenze tale che ogni rappresentazione di utilità valida, $u(\mathbf{x})$ , ha $u_{ii}(\mathbf{x})<0$ per alcuni $i$ ?

In alternativa, c'è qualche semplice prova che, per $L>1$ , l'esistenza di una rappresentazione di servizio con $u_{ii}(\mathbf{x})<0$ per un po ' $i$ implica necessariamente che tutte le rappresentazioni di utilità hanno $u_{ii}(\mathbf{x})<0$ ?

— Ubiquo
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Dittmer (2005) ne discute in dettaglio. A livello introduttivo, insegniamo agli studenti che esiste qualcosa chiamato "utilità marginale decrescente" (DMU), che implica che l'utilità è un concetto cardinale. Quindi a livello intermedio e laureato, l'utilità diventa improvvisamente un concetto ordinale in cui non può esistere qualcosa come DMU. E così quando si passa dall'introduzione ai livelli intermedi, c'è un'enorme incoerenza. Questa incoerenza di solito passa inosservata dalla maggior parte degli studenti e quindi non spiegata dall'insegnante.

— Kenny LJ,

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Il concetto di "utilità marginale" (e quindi di riduzione di tale utilità) ha significato solo nel contesto dell'utilità cardinale .

Supponiamo di avere un indice di utilità ordinale , su un singolo bene, e tre quantità di questo bene, , con . Le preferenze sono ben educate e soddisfano le condizioni di regolarità del benchmark, quindi $u()$ $q_1<q_2<q_3$ $q_2-q_1 = q_3-q_2$

u (q_{1}) < u (q_{2}) < u (q_{3})

$u(q_1)< u(q_2) < u(q_3)$

Questa è un'utilità ordinale . Solo la classifica è significativa, non le distanze. Così le distanze e non hanno l'interpretazione del comportamento / economica . In caso contrario, nemmeno i rapporti $u(q_2) - u(q_1)$ $u(q_3) - u(q_2)$

\frac{u (q_{2}) - u (q_{1})}{q_{2} - q_{1}}, \frac{u (q_{3}) - u (q_{2})}{q_{3} - q_{2}}

$\frac {u(q_2) - u(q_1)}{q_2-q_1},\;\; \frac {u(q_3) - u(q_2)}{q_3-q_2}$

Ma i limiti di questi rapporti quando il denominatore va a zero sarebbe la definizione della derivata della funzione . Quindi il derivato è privo di interpretazione economico / comportamentale e quindi il confronto tra due istanze della funzione derivata non produrrebbe alcun contenuto significativo. $u()$

Naturalmente questo non significa che le derivate di non esistano come concetti matematici. Possono esistere se soddisfa le condizioni necessarie per la differenziabilità. Quindi si può porre la domanda puramente matematica "a quale condizione la funzione che rappresenta l'utilità ordinale ha un secondo derivato strettamente negativo " (o assia negativa definita per il caso multivariato), cercando di non interpretarla come "utilità marginale decrescente" con contenuto economico / comportamentale , ma solo una proprietà matematica che può svolgere un ruolo nel modello che esamina. $u()$ $u()$

In tal caso, sappiamo che:
1) Se le preferenze sono convesse, l'indice di utilità è una funzione quasi concava
2) Se le preferenze sono strettamente convesse, l'indice di utilità è quasi concavo

Ma la quasi concavità è un tipo di proprietà diverso rispetto alla concavità: la quasi concavità è una proprietà "ordinale", nel senso che viene preservata da una crescente trasformazione della funzione.

D'altra parte, la concavità è una proprietà "cardinale", nel senso che non sarà necessariamente preservata da una trasformazione crescente.
Considera ciò che questo implica: presumi che troviamo una caratterizzazione delle preferenze in modo tale che possano essere rappresentate da un indice di utilità che è concavo come una funzione. Quindi possiamo trovare e implementare una crescente trasformazione di questo indice di utilità, che eliminerà la proprietà della concavità.

— Alecos Papadopoulos
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Il fatto che tu chieda "sicurezza" implica che ritieni che qualche risultato sia a rischio. Questa risposta può essere migliorata se puoi specificare un risultato che potresti avere in mente. Altrimenti, prendi ad esempio il primo e il secondo teorema del benessere. Non si basano sulla riduzione dell'utilità marginale.

Se sei preoccupato per i risultati sulle preferenze sull'incertezza (idee sull'avversione al rischio, ecc.), Ricorda che sebbene una rappresentazione della funzione di utilità standard delle preferenze senza incertezza sia unica fino a una trasformazione monotonica positiva, una rappresentazione della funzione di utilità Von Neumann-Morgenstern delle preferenze sull'incertezza è unica solo fino alle trasformazioni affini positive .

EDIT: Note extra.

La definizione di una funzione di utilità è data come segue (da Advanced Microeconomic Theory di Jehle and Reny, 2011): inserisci qui la descrizione dell'immagine

— jmbejara
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