Applicazioni / generalizzazioni di un teorema di Debreu

Vorrei sapere come l'ultimo teorema dell'articolo di Debreu "Agenti economici vicini" (La decisione 171 (1969): 85-90; ristampato in G. Debreu, Mathematical Economics: Twenty Papers of Gerard Debreu (1986), pp. 173 -178) è stato usato:

Teorema. Per uno spazio topologico e uno spazio metrico , sia una mappatura a valori fissi da a che sia a valore compatto (ovvero sia compatta per ogni ) e continua . Inoltre, per ogni sia un totale preordine su \ varphi (e) tale che l'insieme \ {(e, x, y) \ in M ​​\ times H \ times H: x \ lesssim_e y \} è chiuso. Quindi il mapping a valori impostati \ varphi ^ 0 da M a H dove$M$$H$$\varphi$$M$$H$$\varphi(e)$$e \in M$$e \in M$$\lesssim_e$$\varphi(e)$$\{(e, x, y) \in M \times H \times H : x \lesssim_e y\}$$\varphi^0$$M$$H$

$\varphi^0(e) = \{z \in \varphi(e) : x \lesssim_e z \ \ \mbox{for all} \ x \in \varphi(e)\}, \quad e \in M,$

è di valore compatto e emi-continuo superiore .

Si noti che il teorema sembra simile al noto Teorema massimo di Berge. Prima della dichiarazione del teorema, Debreu scrive che casi speciali di esso "sono stati ripetutamente usati nella teoria dell'equilibrio economico e nella teoria dei giochi", ma non fornisce alcun riferimento; nel documento stesso, è usato per dimostrare la massima continuità della corrispondenza della domanda per un agente in un'economia di scambio.

Sono particolarmente interessato a sapere se ci sono stati usi o generalizzazioni recenti di questo teorema, ad esempio per mappature che non sono compatte.

Domande: quali sono alcuni buoni esempi e / o riferimenti per applicazioni del teorema di cui sopra? È stato generalizzato a mappature che non sono compatte?

Questo risultato è davvero una versione del massimo teorema di Berge. Se esiste una funzione continua tale che se e solo se , si può derivare direttamente il risultato dal massimo teorema di Berge. Se è localmente compatto, come nel caso di , allora tale funzione può sempre essere trovata, ciò segue dal Teorema 1 di On the Continuation Representation of Preorders di Mas-Colell (almeno se è metrizzabile, non sono sicuro su questo punto). Ulteriori informazioni su tali "funzioni di utilità congiuntamente continue" sono disponibili nel capitolo 8 delle Rappresentazioni degli ordini di preferenza$u:M\times H\to\mathbb{R}$$x\preceq_e z$$u(e,x)\leq u(e,z)$$H$$H=\mathbb{R}^n$$M$, 1995, di Bridges & Mehta.

Ora Debreu non aveva un simile risultato disponibile, quindi ha lavorato con le relazioni di preferenza e sostanzialmente ha rimproverato il massimo teorema di Berge (la generalizzazione è matematicamente semplice). Perché lo ha fatto? Per capirlo, è necessario comprendere il punto del documento di Debreu, che sta trovando una topologia sulle relazioni di preferenza che ha proprietà nioce e rende il comportamento economico continuo. La necessità di un tale risultato viene dalla letteratura sulle economie con un continuum di agenti.

Che cosa significa che un continuum dell'economia degli agenti è il limite di una sequenza di eonomie finite? Una risposta è che la distribuzione sulle caratteristiche degli agenti converge alla distribuzione delle caratteristiche nell'economia continua, quindi la nozione di convergenza è la convergenza nella distribuzione. Per rendere operativa questa idea, è necessario topologizzare le caratteristiche degli agenti. Ora un agente è caratterizzato dalla sua dotazione e dalle sue preferenze (e in modelli più generali dal suo set di consumi). Esiste una topologia naturale sulle dotazioni, la topologia euclidea, ma è meno semplice topologizzare le preferenze, ed è quello che ha fatto Debreu nel suo documento. Un'esposizione di questo approccio distributivo può essere trovata in Hildenbrand 1974, Core ed equilibri di una grande economia .

Ora, ci sono casi in cui si vorrebbe applicare il teorema di Berge per insiemi di scelte non compatte. Questo può essere importante quando si studiano le economie con spazi merceologici di dimensioni infinite, in cui essere chiusi e limitati non implica compattezza. Un modo per affrontare questo problema è trovare un set compatto in modo che la corrispondenza sia valutata in modo compatto e non vuota se limitata a questo set. Esiste una vasta letteratura molto tecnica su "giochi generalizzati" o "economie astratte" (fondamentalmente giochi di forma normale in cui gli spazi strategici dipendono dalle azioni degli altri), e implicitamente spesso contengono generalizzazioni non compatte del teorema di Berge. Se riesci a mettere le mani sul libro, controlla il capitolo 4 di Xian-Zhi Yuan 1999, Teoria KKM e Applicazioni nell'analisi non lineare. La mia impressione, tuttavia, è che questi risultati si siano rivelati non utili nelle applicazioni economiche. Per dimostrare l'esistenza di equilibri walrasiani in modelli con spazi merceologici di dimensioni infinite, di solito si usano metodi diversi.