Perché la derivata di questo SWF non è positiva?

Questa domanda è collegata allo sviluppo di The Joint Giving Theorem (di S. Kolm).

Esistono due tipi di agenti: benevoli e beneficiari.

Le preferenze dei benevolenti sono rappresentate dalle utilità:$u^i=u^i(x_i,x,c_i,g_i,c_{-i},g_{-i})$

Dove è ricchezza finale, ricchezza iniziale, dono privato fatto ai poveri, è il trasferimento al settore pubblico (che poi lo dà ai poveri). è la ricchezza finale dei beneficiari. è il contributo totale dell'agente . Le sottoscrizioni indicano variabili di altri benevolenti.X i g i t i x c i = g i + t i i - $x_i=X_i-g_i-t_i$$X_i$$g_i$$t_i$$x$$c_i=g_i+t_i$$i$$~_{-i}$

Le preferenze del beneficiario sono rappresentate da una crescente funzione di utilità ordinale .$u=u(x)$

Le assunzioni sono (gli indici significano derivati):$u^i_{x_i}>0,u^i_{x}\geq 0, u^i_{c_i}\geq 0, u^i_{g_i}\geq u^i_{c_j} \leq 0$

Quindi il teorema dice (cito):

L'efficienza di Pareto per questa società di potenziali donatori e riceventi implica l'esistenza di coefficienti tali che è massimo (senza perdita di generalità). La politica pubblica sceglie le tasse . Quando si implementa uno stato sociale efficiente Pareto, questa scelta massimizza tale funzione . Ciò implica, per tax :U = ∑ λ j u j + u t i U t $\lambda_i >0$$U=\sum \lambda_j u^j +u$$t_i$$U$$t_i$

$\lambda_i \cdot (-u^i_{x_i}+u^i_{x}+u^i_{c_i})+\sum_{j\neq i} \lambda_j \cdot (u^j_{x}+u^j_{c_i})+u'\leq 0$

con se e se .$=0$$t_i>0$$\leq 0$$t_i=0$

La mia domanda è: perché è la derivata di in materia di imposte non positivo? Più precisamente, perché non è positivo se le tasse sono pari a zero ?$U$$t$

Questa sembra una semplice condizione del primo ordine dall'ottimizzazione vincolata. Se il massimo è interno, ovvero se , la prima derivata deve essere zero. Se il massimo è sul limite, ovvero se , la prima derivata deve essere . Se fosse , allora non potremmo avere un ottimale, perché allora il valore di potrebbe essere aumentato aumentando . Può essere negativo, tuttavia, supponendo che non possa essere negativo.t i = 0 ≤ 0 > 0 U t i t $t_i>0$$t_i=0$$\leq 0$$>0$$U$$t_i$$t_i$