Da tempo discreto a tempo continuo

Conosco una forma di un derivato, che è

f^{'} (x) = lim_{Δ \to 0} \frac{f (x + Δ) - f (x)}{Δ}

$f'(x) = \lim_{\Delta\to 0} \frac{f(x+\Delta) - f(x)}{\Delta}$

Lascia che . Achdou e i coautori (fine dell'appendice A1) lo sostengono $x_{t+\Delta} = x_t + \Delta \dot x_t$

lim_{Δ \to 0} \frac{f (x_{t + Δ}) - f (x_{t})}{Δ} = lim_{Δ \to 0} \frac{f (x_{t} + Δ {\dot{x}}_{t}) - f (x_{t})}{Δ} = f^{'} (x_{t}) {\dot{x}}_{t}

$\lim_{\Delta\to 0} \frac{f(x_{t+\Delta}) - f(x_t)}{\Delta} = \lim_{\Delta\to 0} \frac{f(x_t + \Delta \dot x_t) - f(x_t)}{\Delta} = f'(x_t)\dot x_t$

Capisco la prima uguaglianza, questa è semplicemente la sostituzione. Non riesco ad avvolgere la testa attorno alla seconda. Come si mostra esattamente?

mathematical-economics

— FooBar
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$\require{cancel}$

Si noti che se $\dot x_t \neq 0$ , quindi $\Delta \dot x_t \to 0 \implies \Delta \to 0$

lim_{Δ \to 0} \frac{f (x_{t + Δ}) - f (x_{t})}{Δ} = {lim_{Δ \dot{x} \to 0} \frac{f (x_{t} + Δ {\dot{x}}_{t}) - f (x_{t})}{Δ {\dot{x}}_{t}} {\dot{x}}_{t}}^{f^{'} (x_{t})} = f^{'} (x_{t}) {\dot{x}}_{t}

$\lim_{\Delta\to 0} \frac{f(x_{t+\Delta}) - f(x_t)}{\Delta} = \cancelto{f'(x_t)}{\lim_{\Delta \dot x\to 0} \frac{f(x_t + \Delta \dot x_t) - f(x_t)}{\Delta \dot x_t} \dot x_t}= f'(x_t)\dot x_t$

Se , allora è una funzione costante. $\dot x_t = 0$ $f(x_t)$

— Metta World Peace
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Ora tutto è perfettamente chiaro per me. Ho cancellato i miei commenti irrilevanti :)

— FooBar,

Anch'io

${}$

— :)