Topologia L-infinito e stella debole

Durante la lettura di articoli di economia, in particolare quelli relativi all'economia con la terra, incontro spesso i termini $ L ^ \ infty $ e la "topologia debole". Sembrano termini molto semplici, ma non sono riuscito a trovare una spiegazione di base su di essi. Ecco un paragrafo tipico che sto cercando di decifrare (è da pagina 4 all'introduzione di Una base per la teoria della posizione ):

Permettere:

$$ [0, \ frac {1} {n}] \ tazza [\ frac {2} {n}, \ frac {3} {n}] \ tazza [\ frac {4} {n}, \ frac { 5} {n}] \ tazza ... \ tazza [\ frac {n-2} {n}, \ frac {n-1} {n}] $$

$ (n = 1,2, ...) $ rappresenta una sequenza di merci di utilità crescente. Se le funzioni degli indicatori di questi insiemi sono incorporate in $ L ^ \ infty $ con la topologia debole *, il limite è $ \ frac {1} {2} 1 _ {[0,1]} $, metà della funzione indicatore su l'intervallo $ [0,1] $. Questo, infatti, è un limite naturale che non è nello spazio delle merci.

Quindi le mie domande sono:

Cos'è $ L ^ \ infty $?
Qual è la "topologia debole"?
Qual è il significato di "incorporato in $ L ^ \ infty $"?

NOTA: ho alcune conoscenze di base (universitarie) sulla topologia. Ho sentito parlare di "topologia debole" ma non ho mai sentito parlare di "topologia debole". Sarò molto grato per una spiegazione semplice e intuitiva che mi aiuterà a continuare a leggere!

mathematical-economics

— Erel Segal-Halevi
fonte

Per il primo, cerca lo spazio LP. In parole povere, $ L ^ \ infty $ è uno spazio di funzioni misurabili, in cui la norma suprema è finita. La debole $ {} ^ * $ topologia è la topologia più debole rende la mappatura della valutazione di un doppio spazio e il doppio di quel doppio spazio continuo. Il terzo significa che c'è un omeomorfismo tra lo spazio di interesse e la sua immagine, un sottoinsieme, non l'intero spazio, di $ L ^ \ infty $.

— Metta World Peace

"... la topologia più debole rende la mappatura della valutazione di un doppio spazio e il doppio di quel doppio spazio continuo ..." non è debole- *. È molto più bello della stella debole. Non sono sicuro di come si chiami, forse della topologia di Mackey-Arens. In quella topologia, ad esempio, Banach-Alaoglu non è vero in generale.

— Michael

@ Michael Grazie. Hai ragione. Avrei dovuto formulare il modo in cui è limitato a un sottospazio del doppio dello spazio duale, che contiene tutti quei funzionali che possono essere rappresentati come una mappatura di valutazione da $ X $ al campo sottostante.

— Metta World Peace

$ L ^ {\ infty} $: lo spazio (di Banach, in genere) delle funzioni misurabili limitate forma l'uguaglianza quasi ovunque. Come tutti gli spazi funzione che non implicano funzioni olomorfe, è davvero uno spazio di classi di equivalenza.

weak - $ ^ * $ topologia: la topologia sul doppio $ X ^ * $ di qualsiasi spazio vettoriale topologico $ X $ indotto dall'accoppiamento $ (X, X ^ *) $.

"incorporato in $ L ^ {\ infty} $": uno spazio vettoriale topologico $ Y $ si dice che sia incorporato in $ L ^ {\ infty} $ se esiste una mappa lineare continua iniettiva da $ Y $ a $ L ^ {\ infty} $.

(Questo è il significato normale. Nel tuo paragrafo, "incorporato" significa semplicemente vedere le funzioni di questi indicatori come rappresentanti delle loro classi. La debole - $ ^ $ $ topologia su $ L ^ {\ infty} $ è data dall'identificazione $ L ^ {\ infty} = (C_0) ^ * $.)

— Michael
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