Uso della matematica e definizione imprecisa dei termini

Come studente post-laurea in economia ho cercato di espandere il mio "set di strumenti" matematico. Nel fare ciò, ho parlato con ingegneri, fisici e matematici, molti dei quali hanno sdegnato l'uso della matematica in economia. I loro argomenti variano, ma un tema comune è riassunto dalla critica del matematico Michael Edesess :

L'economia finge di essere matematica, ma non è matematica. C'è una grande differenza. Nessun matematico usa un termine in una formula o un'affermazione di un teorema, a meno che quel termine non sia stato prima definito con precisione lancinante.

E mentre gli economisti possono pensare di aver definito termini come "domanda aggregata" o "crescita economica", dovrebbero provare a leggere della matematica reale per vedere quale sia veramente una definizione precisa. Gli economisti, penso, lasciano che il lavoro di definizione sia dedotto dal modo in cui i termini sono usati nelle formule.

Io credo che so che la definizione precisa di (non pochi) punto di vista economico, ma forse Edesess sta puntando verso alcuni più profondi fondamenti matematici che non può essere familiare. Qualcuno potrebbe ampliare la sua argomentazione e forse persino contrattaccare?

Edesess sta attaccando ciò che è davvero solo un uomo di paglia dell'economia. Non sono sicuro che capisca davvero il campo. Per iniziare, l'economia non è matematica. Non stiamo sostenendo che lo sia. È più una scienza "applicata". Gli economisti non hanno mai affermato che queste definizioni sono precise come la matematica. Queste definizioni sono costrutti di modellazione --- sono per il lavoro applicato. L'uso è temporaneo in un certo senso. Il punto è cercare di trasmettere un'idea in un modo più preciso rispetto alle parole --- ma tutti sanno che non sono precisi come vorremmo e non così precisi come dovrebbero essere. Sono pensati per essere discussi e in seguito perfezionati. Ma, come sanno tutti gli scienziati applicati, devi iniziare da qualche parte e a volte le idee sono meglio trasmesse attraverso un metodo più semplice, se meno dettagliato.

Trovare definizioni migliori è una parte enorme della scienza economica. Considera questi esempi. Quando fu fondata la Cowles Foundation nel 1932, il suo motto era "Teoria e misurazione" ( il motto fu adottato per la prima volta nel 1952 ). La misurazione non è una cosa facile da fare. Come altro esempio, gran parte del lavoro di Larry Kotlikoff ha affrontato il modo in cui molte misure fiscali non sono concetti economicamente ben definiti.

Einstein ci ha insegnato che né il tempo, né la distanza sono concetti fisici ben definiti. Invece, la loro misurazione è relativa al nostro quadro di riferimento: quanto velocemente viaggiamo nell'universo e in quale direzione. Il nostro quadro di riferimento fisico può essere visto come la nostra lingua o convenzione sull'etichettatura. ... Kotlikoff, insieme a Jerry Green di Harvard, ha offerto una prova generale dell'affermazione secondo cui i deficit e una serie di altre misure fiscali convenzionali sono, economicamente parlando, prive di contenuti, concludendo che il deficit è semplicemente una rappresentazione arbitraria del linguaggio in tutto modelli economici che coinvolgono agenti razionali.

Inoltre, prendi un altro esempio di interesse attuale. Il recente lavoro di Lars Hansen (vincitore del premio Nobel per l'economia 2013) si è concentrato sulla difficoltà e sull'incapacità in corso di definire alcuni concetti economici, tra cui "bolle" e rischio sistemico. Vedi il suo saggio "Sfide nell'identificazione e nella misurazione del rischio sistemico" . Sono un fan del detto che trasmette, attribuito a Lord Kelvin,

Dico spesso che quando puoi misurare qualcosa di cui stai parlando, esprimerlo in numeri, ne sai qualcosa; ma quando non puoi misurarlo, quando non puoi esprimerlo in numeri, la tua conoscenza è di tipo scarso e insoddisfacente: potrebbe essere l'inizio della conoscenza, ma hai appena, nei tuoi pensieri, avanzato allo stadio della scienza, qualunque sia il la materia potrebbe essere.

Egli osserva che "una versione abbreviata appare nell'edificio della Social Science Research dell'Università di Chicago". Quindi, sì, gli economisti (come scienziati sociali) lo prendono decisamente sul serio.

Quindi, il punto è che gli economisti sono ben consapevoli dei problemi in queste "definizioni". Fanno parte della ricerca in corso nel settore; a volte vengono ignorati se le persone non pensano di essere al primo ordine del problema; eccetera...

L'economia finge di essere matematica, ma non è matematica.

Dio non voglia, se scusi la mia lingua. Come molte altre discipline scientifiche, l'economia usa la matematica, sicuramente non è matematica e non può mai diventare matematica.

La matematica può trarre ispirazione dal mondo reale, ma poi definisce e lavora con i suoi concetti indipendentemente dal fatto che rimangano collegati alla fonte di ispirazione.
L'economia, d'altra parte, è obbligata a definire i suoi concetti in modo da preservare un certo grado di pertinenza per gli aspetti del mondo reale che tenta di studiare . E poiché il "mondo reale" che preoccupa l'economia è il mondo sociale , pieno di incertezze e leggi che nessuno ha ancora scoperto, ne consegue che l'economia non può mai raggiungere una "precisione lancinante" e rimanere rilevante . E allora? L'economia non è matematica, l'abbiamo già detto. L'economia è più difficiledella matematica, proprio perché non può imporre tale precisione a se stesso e rimanere utile. Ma si attiene al metodo scientifico e quindi, invece di essere limitato agli argomenti verbali, cerca di "matematizzarli" (usa un linguaggio simbolico, cioè) in modo che possano essere più trasparenti e focalizzati per quanto riguarda le loro conclusioni e la loro coerenza interna .

Sarebbe molto più facile produrre trattati verbali, che prima richiederebbero un giro di analisi semantiche e poi, se questo giro alla fine si concludesse da qualche parte, per discutere l'argomento di per sé . Ma una volta messo in un linguaggio simbolico, eliminiamo la nebbia e lasciamo risplendere le nostre premesse (e quindi i nostri limiti e le nostre imperfezioni ) per chiunque sia interessato a vedere. Questo è ciò che chiamo integrità scientifica nelle scienze sociali, ed è per questo che considero l'economia all'avanguardia delle scienze sociali.

Definizioni in matematica

Il campo della matematica è molto più di una semplice applicazione. In effetti, le applicazioni sono il risultato della matematica reale che si presenta sotto forma di prove e teoremi. Ad esempio, nella teoria degli anelli, i matematici dovevano dimostrarlo a * 0 = 0per tutti i valori di a. Di seguito è la prova: Observe a * 0 = a(0 * 0) = a * 0 + a * 0. (1) Then we add -(a * 0) to both sides to get (a * 0) + -(a * 0) = (a * 0 + a * 0) + -(a * 0) (2) This gives us 0 = a * 0. (3)

Le applicazioni di questo avvantaggiano molti individui quando vengono mostrati 5 * 0 = 0, ma questo è semplicemente il risultato di un risultato più ampio che è stato dimostrato.

Come vengono costruite queste prove? Attraverso le definizioni. Per provare il risultato di cui sopra, non potevamo supporre che a(0 * 0) = a * 0 + a * 0; invece, dovevamo usare la definizione di "anello" che, per definizione, consente la linea (1). Allo stesso modo, dovevamo usare la definizione di "anello" per sapere che ci era permesso usare -(a * 0)in linea (2).

Definizioni in Economia

L'economia, tuttavia, non utilizza definizioni con la stessa capacità. Qui, le definizioni sono usate rigorosamente per la "definizione dei termini" piuttosto che per la "relazione dei termini". In Economia, non si può dimostrare che, a breve termine, l'espansione dell'offerta di moneta (che provoca l'inflazione) ridurrà la disoccupazione. Le definizioni in economia non sono impostate per farlo; ancora di più, non possono farlo.
Parte del motivo per cui le definizioni in economia non possono farlo è a causa delle definizioni. Pensa ai termini "buono", "mercato" e "domanda". Tutti questi termini hanno definizioni sciatte. Non si riferiscono veramente a nient'altro. D'altra parte, abbiamo termini come "valuta" e "PIL" che hanno definizioni ampie e precise. Queste definizioni sono state scelte intenzionalmente e le misurazioni di "valuta" e "PIL" sono precise proprio per questo.
Un'altra parte del perché l'economia ha definizioni "povere" è dovuta allo studio dell'economia stessa. L'economia si basa fortemente sulla domanda degli individui. Questa domanda non può essere quantificata né vi è alcuna garanzia che rimarrà la stessa da un momento all'altro. Pertanto, nessun modo reale di costruire una prova che sarà vera oltre ogni momento particolare. Per questo motivo, l'economia non ha bisogno di definizioni rigorose. In matematica, tuttavia, possiamo costruire prove indipendentemente dai numeri che usiamo e, quindi, trascendere i limiti fino a un contesto molto ampio. Nella dimostrazione sopra, abbiamo usato ainvece di un numero in modo da non dover fare affidamento sull'uso di quel numero e solo di quel numero. Usando a, sappiamo che moltiplicare qualsiasi numero per 0ci darà 0.

Risposta a Edesess

Edesess è per lo più (probabilmente il 95%) corretta. In verità, la maggior parte delle definizioni di economia non sono "definite con precisione" allo stesso livello che devono essere le definizioni matematiche. In matematica, le definizioni sono attentamente valutate e decise dalla comunità matematica nel suo insieme (per non dire che le definizioni economiche non lo sono, ma questo è al di fuori delle mie conoscenze). Inoltre, per la natura dell'Economia, l'uso delle definizioni non può essere usato per provare nulla.
In risposta a Edesess, tuttavia, l'economia non dovrebbe essere trattata come matematica a causa delle differenze fondamentali nel modo in cui effettuano le scoperte. L'economia è avanzata attraverso sondaggi, dati di mercato, grafici di domanda e offerta; La matematica è favorita da ricerche, prove e teoremi.

La critica di Edesess, manca il punto. La realtà è molto più profonda del semplice abuso di definizioni matematiche.

La verità di un'affermazione matematica dipende fortemente dalla capacità di ripercorrere qualsiasi definizione utilizzata a livello logico assiomatico . In questo senso, non si troverebbe alcun matematico che sfrutti selvaggiamente le definizioni che non possono essere ridotte al corpus di conoscenza matematicamente / logicamente vero che già esiste. Ma questo sta affermando l'ovvio.

Nei campi della scienza applicata (biologia, medicina, ingegneria, ecc.) Si parte da un problema reale (dominio del problema) o fenomeno e si modella il problema nel linguaggio della matematica. L'obiettivo è risolvere / studiare / simulare un problema matematico, per poter dire qualcosa sul problema reale.

La critica riguarda in realtà la matematizzazione dell'economia (iniziata con Samuelson negli anni '50 e '60). L'affermazione è che alcuni economisti effettuano la trasformazione nel dominio matematico e perdono di vista il problema originale e non si trasformano mai nel dominio problematico (cioè l'interazione di persone, aziende, risorse, ecc.). Questi economisti si accontentano di formulare relazioni algebriche lineari o di risolvere equazioni auto-regressive vettoriali, senza alcuna giustificazione empirica - o peggio - affermando che tale economia è al di sopra di considerazioni di breve periodo (cioè la mia teoria non può essere falsificata in nessuna delle nostre vite).

Ci sono molti esempi di questo. Uno più ovvia è la cosiddetta teoria della dell'equilibrio generale - che non solo ha dimostrato di essere matematicamente viziata (via equilibri multipli (vedi Sonnenschein, Mantel, Debreu teorema) nel 1970), ma si ipotizza mancare qualsiasi contenuto empirico. Di conseguenza, alcuni economisti preferiscono rimanere nel dominio matematico - forse inseguendo un modello più accurato (GE calcolabile, GE dinamico, GE stocastico, GE stocastico dinamico, ecc. Ecc.) - Da qui la critica incompresa che gli economisti mascherano da matematici . Si potrebbe affermare che tali persone sono descritte più accuratamente come pseudo-matematici, mascherati da economisti (in senso problematico).