Per quale funzione della domanda il monopolio è più dannoso?

Considera un'azienda con costi marginali zero. Se dà il prodotto gratuitamente, allora tutta la domanda è soddisfatta e il benessere sociale aumenta della massima quantità possibile; chiamare questo aumento .$W$

Ma poiché l'impresa è un monopolio, riduce la domanda e aumenta il prezzo al fine di ottimizzare le sue entrate. Ora il benessere aumenta sociali per un importo inferiore, dicono, .$V$

Definire la relativa perdita di benessere (perdita secca) come: . Questo rapporto dipende dalla forma della funzione di domanda. Quindi la mia domanda è: questo rapporto è limitato o può essere arbitrariamente grande? In particolare:$W/V$

• Se è limitato, per quale funzione di domanda viene massimizzata?$W/V$
• Se non ha limiti, per quale famiglia di funzioni della domanda può diventare arbitrariamente grande?$W/V$

Ecco cosa ho provato finora. Sia la funzione di utilità marginale dei consumatori (che è anche la funzione di domanda inversa). Supponiamo che sia finito, liscio, monotonicamente decrescente e ridimensionato al dominio . Sia suo anti-derivato. Poi:$u(x)$$x\in[0,1]$$U(x)$

• $W = U(1)-U(0)$ , l'area totale sotto .$u$
• $V = U(x_m)-U(0)$ , dove è la quantità prodotta dal monopolio. Questa è l'area sotto tranne la parte "perdita secca".$x_m$$u$
• $x_m = \arg \max (x \cdot u(x))$ = la quantità che massimizza le entrate del produttore (il rettangolo contrassegnato).
• $x_m$ solito può essere calcolato usando la condizione del primo ordine: .$u(x_m) = -x_m u'(x_m)$

Per avere un'idea di come si comporta il , ho provato alcune famiglie di funzioni.$W/V$

Sia , dove è un parametro. Poi:$u(x)=(1-x)^{t-1}$$t>1$

• $U(x)=-(1-x)^{t}/t$ .
• La condizione di primo ordine indica: .$x_m=1/t$
• $W=U(1)-U(0) = 1/t$
• $V=U(x_m)-U(0)=(1-(\frac{t-1}{t})^{t})/t$
• $W/V=1/[1-(\frac{t-1}{t})^{t}]$

Quando , , quindi per questa famiglia, è limitato.$t\to\infty$$W/V \to 1/(1-1/e)\approx 1.58$$W/V$

Ma cosa succede con le altre famiglie? Ecco un altro esempio:

Sia , dove è un parametro. Poi:$u(x)=e^{-t x}$$t>0$

• $U(x)=-e^{-t x}/t$ .
• La condizione di primo ordine indica: .$x_m=1/t$
• $W=U(1)-U(0) = (1-e^{-t})/t$
• $V=U(x_m)-U(0)=(1-e^{-1})/t$
• $W/V=(1-e^{-t})/(1-e^{-1})$

Quando , di nuovo , quindi qui di nuovo è limitato.$t\to\infty$$W/V \to 1/(1-1/e)\approx 1.58$$W/V$

E un terzo esempio, che ho dovuto risolvere numericamente:

Sia , dove è un parametro. Poi:$u(x)=\ln(a-x)$$a>2$

• $U(x)=-(a-x)log(a-x)-x$ .
• La condizione di primo ordine indica: . Usando questo grafico desmos , ho scoperto che . Naturalmente questa soluzione è valida solo quando ; altrimenti otteniamo e non vi è alcuna perdita secca.$x_m=(a-x_m)\ln(a-x_m)$$x_m \approx 0.55(a-1)$$0.55(a-1)\leq 1$$x_m=1$
• Usando lo stesso grafico, ho scoperto che sta diminuendo con , quindi il suo valore supremo è quando , ed è circa 1,3.$W/V$$a$$a=2$

Esiste un'altra famiglia di funzioni finite per le quali il può crescere all'infinito?$W/V$

Un rapporto arbitrariamente grande dovrebbe verificarsi con la curva della domanda

$P=\begin{cases} \frac{1}{Q} & \text{if } Q>1 \\ 2-Q & \text{if } Q\leq 1 \\ \end{cases}$ .

Il monopolista costa a , ma il surplus dei consumatori se è infinito, perché l'area sotto la curva della domanda contiene .$P=1$$P=0$$\int_1^\infty \frac{1}{Q}dQ=\infty$