Presupposto della normalità dei tronchi nel prezzo delle attività basato sui consumi

Considerare un problema di massimizzazione del consumatore rappresentativo del tempo discreto di base con l'utilità CRRA. Esiste un asset rischioso con il tempo $t$ prezzo $p_t$ che paga tempo $t+1$ dividendo $d_{t+1}$ e un asset privo di rischi con il prezzo $p_t^f$ che paga un payoff costante 1 a $t+1$ . Partiamo dal presupposto che i dividendi sono una sequenza di variabili casuali che seguono un processo di Markov. Supponiamo inoltre che il consumatore non abbia altri flussi di reddito (es $y_t = 0 \ \forall t$ ). Al momento t il consumatore investe l'importo $\pi_t$ nell'attività e nell'ammontare rischioso $\pi_t^0$ nell'asset privo di rischio. Pertanto, il problema di massimizzazione può essere indicato come

\begin{aligned} max_{{c_{t}, π}_{0}^{\infty}} E_{0} \sum_{t = 0}^{\infty} β^{t} \frac{c_{t}^{1 - γ} - 1}{1 - γ} \\ s . t & c_{t} + π_{t} p_{t} + π_{t}^{0} p_{t}^{0} = (d_{t} + p_{t}) π_{t - 1} + π_{t - 1}^{0} \\ c_{t} \geq 0 \end{aligned}

$\begin{align*} & \underset{\{ c_t, \pi \}_0^\infty}{\text{max}} \ \ E_0 \sum_{t=0}^\infty \ \beta^t \ \frac{c_t^{1-\gamma} -1}{1-\gamma} \\ \\ \ s.t \ \ \ \ & c_t + \pi_t p_t + \pi_t^0 p_t^0 = (d_t+p_t) \pi_{t-1} + \pi_{t-1}^0 \\ & c_t \geq 0 \end{align*}$

Supponiamo di voler trovare il tasso di rischio privo di equilibrio e il premio azionario atteso. Al fine di chiudere il modello, si presume spesso (si veda ad esempio il libro 8.3 di Teoria dei prezzi delle attività finanziarie del libro di Claus Munk ) che la crescita dei consumi di tronchi e i rendimenti lordi a rischio di tronchi sono normalmente distribuiti congiuntamente. ie

\begin{aligned} l n (\frac{c_{t + 1}}{c_{t}}) \equiv {\bar{g}}_{t + 1} \sim N (μ_{g}, σ_{g}^{2}) \\ l n R_{t + 1} \equiv {\bar{r}}_{t + 1} \sim N (μ_{r}, σ_{r}^{2}), \end{aligned}

$\begin{align*} & ln \ \Big(\dfrac{c_{t+1}}{c_t} \Big) \equiv \bar{g}_{t+1} \sim N(\mu_g, \sigma_g^2) \\ & ln R_{t+1} \equiv \bar{r}_{t+1} \sim N(\mu_r, \sigma_r^2) \ , \\ \end{align*}$

dove i rendimenti lordi sono definiti come

R_{t + 1} \equiv \frac{p_{t + 1} + d_{t + 1}}{p_{t}} .

$R_{t+1} \equiv \frac{p_{t+1} + d_{t+1}}{p_t} \ .$

Quello che non capisco del tutto è da dove provengono le ipotesi di distribuzione normali del log. So che poiché si tratta di un'economia rappresentativa degli agenti, il consumo dell'agente deve essere uguale al dividendo aggregato nell'economia. Ma dal momento che abbiamo assunto che non ci sono entrate, $y_t = 0 \ \forall t$ , è l'unico processo esogeno di dividendo nell'economia $d_t$ e quindi dovrebbe avere la stessa distribuzione della crescita dei consumi. Tuttavia, la mia impressione è che quando diciamo che il tasso rischioso ha una distribuzione log-normale ciò significa in realtà il processo di dividendo, poiché è la "parte casuale" nella definizione dei rendimenti (prezzo $p_{t+1}$ non è esogeno ma determinato all'interno del modello). A me sembra ora che abbiamo formulato due ipotesi diverse sullo stesso processo di dotazione $d_t$ . Da dove viene il presupposto per il consumo o che cosa rappresenta? Come cambierebbe la situazione se il consumatore avesse un certo flusso di reddito $y_t > 0$ ?

macroeconomics consumer-theory asset-pricing

— vvv
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Risposte:

Il tipico lagrangiano a due periodi è

Λ = β^{t} \cdot (\frac{c_{t}^{1 - γ} - 1}{1 - γ} + λ_{t} \cdot [(d_{t} + p_{t}) π_{t - 1} + π_{t - 1}^{0} - c_{t} - π_{t} p_{t} - π_{t}^{0} p_{t}^{0}]) + β^{t + 1} \cdot (\frac{c_{t + 1}^{1 - γ} - 1}{1 - γ} + λ_{t + 1} \cdot [(d_{t + 1} + p_{t + 1}) π_{t} + π_{t}^{0} - c_{t + 1} - π_{t + 1} p_{t + 1} - π_{t + 1}^{0} p_{t + 1}^{0}])

$\Lambda = \beta^t\cdot \Big(\frac{c_t^{1-\gamma} -1}{1-\gamma} + \lambda_t\cdot \big[(d_t+p_t) \pi_{t-1} + \pi_{t-1}^0- c_t - \pi_t p_t - \pi_t^0 p_t^0\big]\Big) \\ + \beta^{t+1}\cdot \Big(\frac{c_{t+1}^{1-\gamma} -1}{1-\gamma} + \lambda_{t+1}\cdot \big[(d_{t+1}+p_{t+1}) \pi_{t} + \pi_{t}^0- c_{t+1} - \pi_{t+1} p_{t+1} - \pi_{t+1}^0 p_{t+1}^0\big]\Big)$

Le condizioni del primo ordine rispetto a $c_t, \pi_t$ siamo

\begin{matrix} (1) & c_{t}^{- γ} = λ_{t} ⟹ . . . γ \ln \frac{c_{t + 1}}{c_{t}} = \ln \frac{λ_{t}}{λ_{t + 1}} \end{matrix}

$c_t^{-\gamma} = \lambda_t \implies ... \gamma\ln \frac {c_{t+1}}{c_t} = \ln \frac {\lambda_{t}}{\lambda_{t+1}} \tag{1}$

\begin{matrix} (2) & - β^{t} λ_{t} p_{t} + β^{t + 1} λ_{t + 1} (d_{t + 1} + p_{t + 1}) = 0 ⟹ \frac{λ_{t}}{λ_{t + 1}} = β \frac{p_{t + 1} + d_{t + 1}}{p_{t}} \end{matrix}

$-\beta^t\lambda_tp_t + \beta^{t+1}\lambda_{t+1}(d_{t+1}+p_{t+1})=0 \implies \frac {\lambda_{t}}{\lambda_{t+1}} = \beta \frac{p_{t+1} + d_{t+1}}{p_t} \tag{2}$

e quindi, usando anche la definizione del rendimento lordo,

\begin{matrix} (3) & \ln \frac{λ_{t}}{λ_{t + 1}} = \ln β + \ln R_{t + 1} \end{matrix}

$\ln \frac {\lambda_{t}}{\lambda_{t+1}} = \ln \beta + \ln R_{t+1} \tag{3}$

combinando $(1)$ e $(3)$ noi abbiamo

\begin{matrix} (4) & \ln \frac{c_{t + 1}}{c_{t}} = \frac{1}{γ} \ln β + \frac{1}{γ} \ln R_{t + 1} \end{matrix}

$\ln \frac {c_{t+1}}{c_t} = \frac 1 {\gamma}\ln \beta + \frac 1 {\gamma}\ln R_{t+1} \tag{4}$

Quindi vediamo che nel percorso ottimale, la crescita dei consumi è una funzione affine diretta dei rendimenti log-risk. Questo, tra le altre cose, implica che il loro coefficiente di correlazione è uguale all'unità.

La distribuzione normale è chiusa sotto trasformazioni affine (in alternativa, sotto ridimensionamento e spostamento), quindi se assumiamo che i rendimenti a rischio logaritmico siano normalmente distribuiti, anche la crescita dei consumi è normalmente distribuita (con media e varianza diverse ovviamente).

Si noti che, sebbene in generale, il presupposto della normalità congiunta sia aggiuntivo quando due normali variabili casuali non sono indipendenti, qui, il fatto che l'una sia una funzione affine dell'altra garantisce la normalità comune. Secondo le condizioni di Cramer per la normalità bivariata, deve essere il caso che tutte le combinazioni lineari di due variabili casuali normali abbiano una distribuzione normale univariata. Nel nostro caso abbiamo (notazione generica) il vavriable casuale $Y$ e la variabile casuale $X = a+bY$ . Prendere in considerazione

δ_{1} X + δ_{2} Y = δ_{1} (a + b Y) + δ_{2} Y = δ_{1} a + (δ_{1} b + δ_{2}) Y

$\delta_1X + \delta_2 Y = \delta_1(a+bY) + \delta_2 Y = \delta_1a + (\delta_1b+\delta_2)Y$

Quindi per qualsiasi $(\delta_1, \delta_2)$ (tranne il vettore zero che è escluso a priori), $\delta_1X + \delta_2 Y$ segue una distribuzione normale se $Y$ lo fa. Quindi è sufficiente supporre che i rendimenti del rischio log seguano una distribuzione normale per ottenere anche la normalità congiunta.

— Alecos Papadopoulos
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Questa è una vecchia risposta, ma come detto questa risposta è falsa. Devi fare attenzione quando usi i moltiplicatori di Lagrange in presenza di elementi stocastici. Se si esegue correttamente il calcolo, si finisce solo con l'equazione dei prezzi delle attività standard

E (m R) = 1

$\mathbb E(mR) = 1$ - nel tuo calcolo, perdi le aspettative perché non stai attento con la tua ottimizzazione. (Un altro modo per dirlo è che il problema di ottimizzazione dovrebbe avere

s + 1

$s+1$ vincoli anziché

2

$2$ , dove

s

$s$ è il numero di possibili stati della natura nel periodo

t + 1

$t+1$ .)

— Starfall,

@Starfall Grazie per l'input. Vecchi o no, i contenuti errati devono essere corretti. Controllerò di nuovo la risposta e vedrò cosa posso fare. A prima vista, penso che intendi dire che la covarianza tra il

t + 1

$t+1$ moltiplicatore e il

p_{t + 1}, d_{t + 1}

$p_{t+1}, d_{t+1}$ i termini sono stati ignorati.

— Alecos Papadopoulos,

Non è solo la covarianza che è stata ignorata: se quello fosse l'unico problema, avresti finito

E (m) E (R) = 1

$\mathbb E(m) \mathbb E(R) = 1$ , che mette in relazione solo il valore atteso del fattore di sconto con i rendimenti attesi, mentre la risposta finisce con

m R = 1

$mR = 1$ , una relazione ex post tra il fattore di sconto e i rendimenti che si mantiene in ogni stato della natura. Il problema è semplicemente che non è possibile utilizzare i moltiplicatori di Lagrange con variabili stocastiche senza essere espliciti sui diversi stati della natura nel problema.

— Starfall,

Nel caso in cui la terminologia non sia chiara,

R = (p_{t + 1} + d_{t + 1}) / p_{t}

$R = (p_{t+1} + d_{t+1})/p_t$ ,

m = β (c_{t + 1} / c_{t})^{- γ}

$m = \beta (c_{t+1} / c_t)^{-\gamma}$ in questo problema.

— Starfall,

@Starfall hmm ... qui il problema sono le distribuzioni effettivamente seguite, non la soluzione ex ante ... Ci penserò su ed elaborerò più avanti.

— Alecos Papadopoulos,

Di recente ho prodotto un documento derivante dalla distribuzione dei rendimenti per tutte le classi di attività e passività. Il ritorno log-normal appare solo in due casi. Il primo è con le obbligazioni di sconto a periodo singolo, il secondo con le fusioni in contanti. Viene da un presupposto, credo originariamente da Boness per eliminare il problema di Markowitz di prezzi infinitamente negativi. Sebbene sia stato logicamente derivato, ha un presupposto critico che lo rende generalmente falso.

La maggior parte dei modelli finanziari presuppone che i parametri siano noti con probabilità uno. Non è necessario stimare $\mu$ con $\bar{x}$ perché si presume che sia noto. In apparenza, questo non è un problema perché questa è la metodologia generale dei metodi basati su ipotesi nulla. Si asserisce che un valore nullo è vero e quindi i parametri sono noti e viene eseguito un test su questo valore nullo.

La difficoltà si verifica quando i parametri non sono noti. Si scopre che la prova crolla senza quell'ipotesi, in generale. Lo stesso vale per Black-Scholes. Sto presentando un documento alla conferenza SWFA di questa primavera in cui sostengo che se i presupposti della formula di Black-Scholes sono letteralmente veri, allora non può esistere uno stimatore che converge al parametro della popolazione. Tutti hanno appena assunto la formula con una conoscenza perfetta eguagliato lo stimatore dei parametri. Nessuno ha mai effettivamente verificato le sue proprietà. Nel loro documento iniziale, Black e Scholes hanno testato empiricamente la loro formula e hanno riferito che non funzionava. Una volta scartato il presupposto che i parametri siano noti, la matematica viene fuori in modo diverso. Abbastanza diverso da non riuscire a pensarci allo stesso modo.

Consideriamo un caso di un titolo azionario quotato al NYSE. È scambiato in una doppia asta quindi la maledizione del vincitore non si ottiene. Per questo motivo, il comportamento razionale è quello di creare un ordine limite il cui prezzo è uguale $\mathbb{E}(p_t),\forall{t}$ . Ci sono molti acquirenti e venditori, quindi il libro limite dovrebbe essere staticamente normale, o almeno lo sarà in modo che il numero di acquirenti e venditori vada all'infinito. Così $p_t$ è staticamente normale $p_t^*$ , il prezzo di equilibrio.

Naturalmente, abbiamo ignorato la distribuzione di $(q_t,q_{t+1})$ . Se si ignorano le divisioni e i dividendi azionari, allora o continua ad esistere o no. Quindi devi creare una distribuzione mista per rendimenti stock-to-stock, resi cash-to-stock e bancarotta. Ignoreremo questi casi per semplicità, anche se ciò impedisce la possibilità di risolvere un modello di prezzi delle opzioni.

Quindi, se ci limitiamo a $r_t=\frac{p_{t+1}}{p_t}$ e assumere via tutti i dividendi, quindi i nostri rendimenti saranno il rapporto di due normali sull'equilibrio. Sto escludendo i dividendi perché creano disordine e escludo casi come la crisi finanziaria del 2008 perché si ottiene uno strano risultato che consumerebbe pagina dopo pagina dopo pagina di testo.

Ora semplifica la nostra derivazione, se traduciamo i nostri dati da $(p_t^*,p_{t+1}^*)$ per $(0,0)$ e definire $\mu=\frac{p_{t+1}^*}{p_t^*}$ possiamo facilmente vedere la distribuzione. In assenza di una limitazione delle passività o di un vincolo di bilancio intertemporale, per noto teorema, la densità dei rendimenti deve essere la distribuzione di Cauchy, che non ha né una media né una varianza. Quando traduci tutto in uno spazio di prezzo, la densità diventa

\frac{1}{π} \frac{σ}{σ^{2} + (r_{t} - μ)^{2}} .

$\frac{1}{\pi}\frac{\sigma}{\sigma^2+(r_t-\mu)^2}.$

Poiché non vi è alcun mezzo, non è possibile prendere le aspettative, eseguire o test F, utilizzare qualsiasi forma di minimi quadrati. Certo, questo sarebbe diverso se fosse invece un oggetto antico.

Se fosse un'antiquariato all'asta, la maledizione del vincitore si ottiene. L'offerente alto vince l'offerta e la densità limite delle offerte alte è la distribuzione Gumbel. Quindi risolveresti lo stesso problema, ma come il rapporto tra due distribuzioni Gumbel invece di due distribuzioni normali.

Il problema non è in realtà così semplice. La limitazione di responsabilità tronca tutte le distribuzioni sottostanti. Il vincolo di bilancio intertemporale distorce tutte le distribuzioni sottostanti. Esiste una distribuzione diversa per dividendi, fusioni per liquidità, fusioni per azioni o proprietà, bancarotta e una distribuzione troncata di Cauchy per le attività correnti come sopra. Esistono sei tipi di distribuzioni per titoli azionari in una miscela.

Mercati diversi con regole diverse e stati esistenziali diversi creano distribuzioni diverse. Un vaso antico ha il caso in cui viene lasciato cadere e si frantuma. Ha anche il caso di usura o altri cambiamenti nella qualità intrinseca. Infine, ha anche il caso che, se vengono distrutti abbastanza vasi simili, si sposta il centro della posizione.

Infine, a causa del troncamento e della mancanza di una statistica sufficiente per i parametri, non esiste uno stimatore non bayesiano calcolabile e ammissibile.

Puoi trovare una derivazione del rapporto tra due variate normali e una spiegazione su http://mathworld.wolfram.com/NormalRatioDistribution.html

Puoi anche trovare quello che sembra essere il primo articolo sull'argomento all'indirizzo

Curtiss, JH (1941) Sulla distribuzione del quoziente di due variabili di probabilità. Annali di statistiche matematiche, 12, 409-421.

C'è anche un documento di follow-up a

Gurland, J. (1948) Formule di inversione per la distribuzione dei rapporti. The Annals of Mathematical Statistics, 19, 228-237

Per il modulo autoregressivo per i metodi Likelihoodist e Frequentist presso

White, JS (1958) La distribuzione limitante del coefficiente di correlazione seriale nel caso esplosivo. The Annals of Mathematical Statistics, 29, 1188-1197,

e la sua generalizzazione di Rao presso

Rao, MM (1961) Coerenza e distribuzione dei limiti degli stimatori dei parametri nelle equazioni di differenza stocastica esplosiva. The Annals of Mathematical Statistics, 32, 195-218

Il mio articolo prende questi quattro e altri articoli, come un articolo di Koopman e uno di Jaynes, per costruire le distribuzioni se i parametri reali sono sconosciuti. Osserva che il Libro bianco sopra ha un'interpretazione bayesiana e consente una soluzione bayesiana anche se non esiste una soluzione non bayesiana.

Nota questo $\log(R)$ ha una media e una varianza finite, ma nessuna struttura di covarianza. La distribuzione è la distribuzione secante iperbolica. Questo è anche un risultato ben noto nelle statistiche. Non può davvero essere una distribuzione iperbolica secante a causa di casi collaterali quali fallimento, fusioni e dividendi. I casi esistenziali sono additivi, ma il registro implica errori moltiplicativi.

È possibile trovare un articolo sulla distribuzione secante iperbolica su

Ding, P. (2014) Tre ricorrenze della distribuzione iperbolica-secante. The American Statistician, 68, 32-35

Il mio articolo è all'indirizzo

Harris, D. (2017) The Distribution of Returns. Journal of Mathematical Finance, 7, 769-804

Prima di leggere il mio, dovresti leggere prima i quattro articoli precedenti. Inoltre non sarebbe male leggere anche ET Jaynes tome. Sfortunatamente è un'opera polemica, ma è comunque rigorosa. Il suo libro è:

Jaynes, ET (2003) Probability Theory: The Language of Science. Cambridge University Press, Cambridge, 205-207

— Dave Harris
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