Funzione di produzione CES con

10

Nell'usare le funzioni di produzione CES della forma , assumiamo sempre che . Perché facciamo questo presupposto? Capisco che se , la funzione di produzione non sarà più concava (e quindi il set di produzione non sarà convesso), ma cosa implica ciò in termini di profitti e costi? $f(x_1,x_2)=(x_1^\rho+x_2^\rho)^{1/\rho}$ $\rho\leq1$ $\rho>1$

— Sher Afghan
fonte

3

sopra uno si tradurrebbe in una soluzione angolare in cui viene scelto un solo input con quantità positiva. Poiché il punto delle funzioni di produzione multi-good è di solito modellare le circostanze in cui vengono effettivamente utilizzati due input, questa è una caratteristica indesiderabile.

ρ

$\rho$

— Sabato

Ci sarà una soluzione per trarre profitto dal problema massimo?

— Sher Afghan

@SherAfghan, la funzione lineare con

sembra non appartenere alla famiglia CES, poiché la sua elasticità di sostituzione non è costante.

ρ = 1

$\rho = 1$

— garej,

3

Il problema con è che significa che il prodotto marginale dei fattori non sta diminuendo ( ) o costante ( ) ma sta aumentando, il che è un'ipotesi strana. Tali funzioni producono isoquanti che sono concavi e potrebbero portare all'uso di un solo fattore (come diceva BKay). $\rho>1$ $\rho<1$ $\rho=1$

Come in qualsiasi CES generico, il prodotto marginale del fattore è $x_i$

M P_{i} = {(\frac{y}{x_{i}})}^{1 - ρ}

$MP_i = \left(\frac{y}{x_i}\right)^{1-\rho}$

La derivata di questo MP rispetto a è, dopo qualche riorganizzazione, $x_i$

(ρ - 1) {(\frac{y}{x_{i}})}^{1 - ρ} (\frac{x_{- i}}{x_{i} y^{ρ}})

$(\rho-1) \left(\frac{y}{x_i}\right)^{1-\rho}\left(\frac{x_{-i}}{x_iy^{\rho}}\right)$

Per , questa espressione è positiva, il che significa che la produttività di un fattore aumenta all'aumentare di tale fattore. $\rho>1$

Per quanto riguarda gli isoquanti, puoi trovarli riscrivendo la funzione di produzione come . Nel CES generico, questo è $x_2=g(y,x_1)$

x_{2} = {(y^{ρ} - x_{1}^{ρ})}^{\frac{1}{ρ}}

$x_2 = \left(y^{\rho} - x_1^{\rho}\right)^\frac{1}{\rho}$

$\rho=1$ $x_2=\frac{y}{x_1}$ $\rho>1$ $\rho=2$

x_{2}^{2} = y^{2} - x_{1}^{2}

$x_2^2 = y^2 - x_1^2$

$(0,0)$ $y$ $x_i \geq 0$ $y$

$\hskip3cm$

(Codice per la riproduzione della figura qui )

— luchonacho
fonte

3

Ecco il mio tentativo di questa domanda, è incompleta e / o errata, quindi per favore aiutatemi a dare suggerimenti e lo modificherò.

Minimizzazione dei costi

$f(x_1,x_2)$

x_{1} (p, y) = q^{2} a n d x_{2} (p, y) = 0 i f w_{1} < w_{2}

$x_1(p,y)=q^2 \quad and \quad x_2(p,y)=0 \quad\quad if\quad w_1< w_2$

x_{1} (p, y) = 0 a n d x_{2} (p, y) = q^{2} i f w_{1} > w_{2}

$x_1(p,y)=0 \quad and \quad x_2(p,y)=q^2 \quad\quad if\quad w_1>w_2$

x_{1} (p, y) = 0, x_{2} (p, y) = q^{2} o r x_{1} (p, y) = q^{2}, x_{2} (p, y) = 0 i f w_{1} = w_{2}

$x_1(p,y)=0 , x_2(p,y)=q^2 \quad or \quad x_1(p,y)=q^2 , x_2(p,y)=0 \quad if\quad w_1=w_2$

C (w, y) = m i n [w_{1} q^{2}, w_{2} q^{2}]

$C(w,y)=min[w_1q^2,w_2q^2]$

$f(tx_1,tx_2)<tf(x_1,x_2) \quad\forall \quad t>1$

— Sher Afghan
fonte

1

(x_{1}^{ρ} + x_{2}^{ρ})^{θ / ρ}

$(x_1^{\rho}+x_2^{\rho})^{\theta/\rho}$

θ

$\theta$

ρ

$\rho$

ρ < 1

$\rho<1$

θ

$\theta$

ρ \to \infty

$\rho\rightarrow \infty$

θ

$\theta$

ρ

$\rho$

θ

$\theta$

ρ > 1

$\rho>1$

θ

$\theta$

θ \leq 1

$\theta \leq 1$

θ > 1

$\theta >1$

1

L'esistenza di una soluzione al problema della massimizzazione degli utili dipende dalla struttura del mercato. Il problema della massimizzazione del profitto di un monopolista è di solito ancora ben definito, mentre per le aziende che prendono i prezzi non sarà così.

— HRSE,

0

$\rho \geq 1$

$r$ $w$

$w=1$ $\pi(q)$ $p>0$ $\rho=2$

π (q) = p \cdot q - 1 \cdot (q^{2} - 1)^{1 / 2}

$\pi(q) = p \cdot q - 1 \cdot (q^2 - 1)^{1/2}$

$\pi'' >0$

Per vedere lo stesso effetto in un esempio più semplice ( non derivato dal CES), considerare questo:

π (q) = p \cdot q - 2 \cdot q^{1 / 2}

$\pi(q) = p \cdot q - 2 \cdot q^{1/2}$

$\pi'' = (1/2)q^{-3/2} > 0$

$q^{1/2}$ $q^2$ $p=1.7$

— garej
fonte