$$\newcommand{\E}{\mathbb{E}}$$

Prefazione

Questa domanda è collegata a questa sull'elasticità della sostituzione intertemporale e questa sulla definizione di avversione al rischio assoluta . (È correlato al secondo in quanto la definizione di avversione al rischio relativa può essere motivata dalla quantità che risolve

$$U(C(1-RRA/2)) = \E[U(C(1-\epsilon))\mid C].$$

Domanda

In questa domanda, voglio sapere come calcolare l' avversione al rischio relativa delle preferenze di Epstein-Zin.

Lascia che sia data una sequenza di consumo $C=(C_0, C_1,...)$ e che $C_t^+ = (C_t, C_{t+1}, ...)$ . Supponiamo ora di avere le preferenze di Epstein-Sin,

$$\begin{align*} U_t(C_t^+) &= f(C_t, q(U_{t+1}(C_{t+1}^+))) \\ U_t &= \left \{(1-\beta) C_t^{1-\rho} + \beta \left(\E_t[U_{t+1}^{1-\gamma}]\right)^{\frac{1-\rho}{1-\gamma}} \right\}^{\frac{1}{1-\rho}}, \end{align*}$$ dove $f$ è l'aggregatore del tempo e $q$ è il condizionale certezza operatore equivalente. Cioè, $$f(c,q) = ((1-\beta) c^{1-\rho} + \beta q^{1-\rho})^{\frac{1}{1-\rho}}$$ e $$q_t = q(U_{t+1}) = \left(\E_t[U_{t+1}^{1-\gamma}]\right)^{\frac{1}{1-\gamma}}.$$ Come faccio a dimostrare che il coefficiente di avversione al rischio relativo è $\gamma$ ?

Appunti

L'applicazione della solita definizione di avversione al rischio relativa sembra richiedere cure. Se dovessimo calcolare $RRA = -c u''(c)/u'(c)$ , dovremmo stare attenti agli indici dei tempi su $c$ . Il calcolo di questi derivati ​​rispetto a $C_t$ non ci darebbe la risposta corretta. Probabilmente dovrebbe essere

$$RRA = - C_{t+1} \left . \frac{\partial^2 U_t}{\partial C_{t+1}^2} \middle / \frac{\partial U_t}{\partial C_{t+1}} \right. .$$