Mostra che


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Definizioni e cose:

Considera uno spazio di probabilità filtrato dove(Ω,F,{Ft}t[0,T],P)

  1. T>0
  2. P=P~

Questa è una misura neutrale al rischio .

  1. Ft=FtW=FtW~

dove è standard - Moto bruno.W=W~={Wt~}t[0,T]={Wt}t[0,T]P=P~

Considera doveM={Mt}t[0,T]

Mt:=exp(0trsds)P(0,t)

Definisci misura in avanti :Q

dQdP:=MT=exp(0Trsds)P(0,T)

dove è un processo a tasso breve e è il prezzo delle obbligazioni al momento t. { P ( t , T ) } t [ 0 , T ]{rt}t[0,T]{P(t,T)}t[0,T]

Si può dimostrare che è un martingale dove la dinamica dei prezzi delle obbligazioni è data come: ( F t , P ) -{exp(0trsds)P(t,T)}t[0,T](Ft,P)

dP(t,T)P(t,T)=rtdt+ξtdWt

dove

  1. ξ t F trt e sono adattatiξtFt

  2. ξ tξt soddisfa le condizioni di Novikov (non credo che dovrebbe rappresentare qualcosa in particolare)ξt


Problema:

Definire il processo stocastico stWQ=(WtQ)t[0,T]

WtQ:=Wt0tξsds

Usa il teorema di Girsanov per dimostrare:

WtQ is standard Q -Brownian motion.

Cosa ho provato:

Poiché soddisfa le condizioni di Novikov,ξt

0Tξtdt< a.s.  0Tξtdt< a.s.

Lt:=exp(0t(ξsdWs)120tξs2ds)

è una .(Ft,P)

Di Girsanov Theorem,

WtQ is standard P -Brownian motion, where

dPdP:=LT

Suppongo che sia standard -Brownian Motion se possiamo mostrare che QWtQQ

LT=dQdP

Ho perso i miei appunti, ma penso di essere riuscito a mostrarlo usando il lemma di Ito

  1. dLt=LtξtdWt
  2. dMt=MtξtdWt

Da quelli deduco che

d(lnLt)=d(lnMt)

Lt=Mt

LT=MT

QED

È giusto?


Perché il prezzo delle obbligazioni è scontato dal tasso breve una P-martingale? Il prezzo delle obbligazioni è un GBM generalizzato. Scrivilo come esponenziale di una diffusione Ito, si dovrebbe vedere che l'attualizzazione con il tasso breve non tiene conto della correzione Ito.
Michael,

@Michael sei sicuro di voler dire P come neutrale al rischio e non P come nel mondo reale?
BCLC,

Ok capisco. Se risolvi la SDE per come esponenziale Ito, sostituisci in , vedrai che il teorema di Girsanov si applica immediatamente. Inoltre, e non sono gli stessi nell'impostazione Ito. Nel tuo argomento, si dovrebbe invece invocare l'unicità di solide soluzioni di SDE. M T d LPtMT dlnLdLLdlnL
Michael,

@Michael Grazie! Quale parte dell'argomento esattamente?
BCLC,

Risposte:


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(Osservando la domanda e la notazione usate più da vicino, la formulazione sembra essere problematica in posti di coppia.)

Fatto generale

Sia un moto browniano standard rispetto alla filtrazione . Considera definito da In generale, è un super martingala. In alcune condizioni (ad esempio la condizione di Novikov), è una martingala e si può definire una misura di probabilità di Sotto , il processo è un moto browniano standard rispetto alla filtrazioneW(Ft)t[0,T](Lt)t[0,T]

dLtLt=ψtdLt,L0=1.
Lt=e0tψsdWs120tψs2dsLtQ
dQdP=LT.
Q
WtQ=Wt0tψsds
(Ft)t[0,T] .

Un'indicazione informale del perché questo è vero è la seguente. Considera . Secondo il teorema di Bayes, è un -martingale se e solo se è un -martingale. DaWtλ=Wt+0tλsdsWλQLWλP

dLWλ=LdWλ+WλdL+dLdWλ=L(ψ+λ)dt+()dW,
dobbiamo avere , affinché sia un movimento -Brownian.λ=ψWλQ

Prezzo scontato come densità di probabilità

Le ipotesi implicite sono che esiste un'attività sottostante il cui prezzo segue sotto la misura del rischio neutro . I processi di tasso breve e volatilità sono adattati con sufficiente regolarità in modo che esistano gli integrali. (Perché ciò sia vero, la filtrazione browniana generata da sotto la misura del rischio neutro deve essere la stessa di quella generata dal moto fisico browniano sotto la misura fisica, in modo che si applichi il Teorema di Rappresentazione Martingale.)St

dStSt=rtdt+σtdWt
P(rt)σt(Wt)

In questa impostazione di filtrazione browniana, per qualsiasi rivendica , la dinamica neutrale al rischio del suo prezzo assume la forma Il processo è la volatilità del rendimento di , sotto la misura sia fisica che neutrale al rischio.TXTXt

dXtXt=rtdt+ψtdWt.
(ψt)Xt

In altre parole, la dinamica neutrale al rischio del prezzo scontato è data da (Il prezzo scontato di qualsiasi reclamo deve seguire una martingala in misura neutrale al rischio, senza alcun arbitraggio.)Mt=e0trsdsXt

dMtMt=ψtdWt,M0=X0.
T

Se la condizione di Novikov è valida, allora definisce una densità Radon-Nikodym Sotto , il processo è un moto browniano standard rispetto alla filtrazione .LT=MTM0

dQdP=LT.
Q
Wt0tψsds
(Ft)t[0,T]

In altre parole, il payoff scontato di qualsiasi -claim , normalizzato dal suo tempo- prezzo , può essere considerato come la densità Radon-Nikodym di una misura . Sotto , il moto browniano neutrale al rischio ora ha una deriva data dalla volatilità del rendimento .e0TrsdsXTTXT0X0QQdXtXt

Se è il prezzo di un bene negoziato, allora è un -martingale. Ciò implica che è un -martingale.(Yt)e0trsdsYtP(YtXt)Q

Misura in avanti

La misura in avanti è un caso speciale di sopra dove è il tempo- prezzo del titolo zero coupon con scadenza a . In particolare, . Nell'espressione è la volatilità del rendimento sul legame zero coupon.Xt=P(t,T)tTXT=P(T,T)=1

dP(t,T)P(t,T)=rtdt+ξtdWt,
ξt

(Se è deterministico, allora e la misura è la stessa della misura neutrale al rischio. L'obbligazione zero coupon è un'attività rischiosa solo quando il tasso short è stocastico.)(rt)ξ=0

La misura corrispondente è definita da Dal momento che dalla discussione generale sopra risulta che, sotto , il processo è un moto browniano standard rispetto alla filtrazione .Q

dQdP=e0TrsdsP(T,T)P(0,T)=LT.
dLtLt=ξtdWt,
Q
Wt0tξsds
(Ft)t[0,T]

(Nella domanda pubblicata, la martingala dovrebbe essere . Sono i prezzi delle attività scontati che sono martingales sotto misura neutrale al rischio).Mte0trsdsP(t,T)P(0,T)

Commenti empirici

La misura forward ha la proprietà che i prezzi forward formano un -martingale.QQ

Supponiamo che è il prezzo a termine del contratto a termine è entrato in con scadenza . Per nessun arbitraggio (parità spot-forward, in questo caso) che, dopo l'attualizzazione, è una -martingale. Quindi è un -martingale.F(t,T)tT

F(t,T)P(t,T)=St
PF(t,T)Q

Poiché il prezzo a termine sposta inversamente rispetto a . La misura diretta sposta la massa di probabilità verso gli stati in cui il rendimento attualizzato dell'obbligazione zero coupon è alto, in modo tale da contrastare il movimento in e mantenere costante l'attesa (condizionale).

F(t,T)=StP(t,T)
P(t,T)
d(e0trsdsP(t,T))e0trsdsP(t,T)=ξtdWt,
P(t,T)


Grazie. allora ho ragione? o no?
BCLC

1
Bene, ci sono alcune lacune nella tua discussione. 1. Le condizioni di Novikov non sono quotate correttamente. 2. Il processo di densità RN previsto non è definito correttamente. 3. Dopo aver usato il lemma di Ito, prendere i registri va bene, ma il risultato segue già dall'unicità delle soluzioni a SDE. Mt
Michael,

K grazie Michael!
BCLC
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