Mostra che

Definizioni e cose:

Considera uno spazio di probabilità filtrato dove $(\Omega, \mathscr F, \{\mathscr F_t\}_{t \in [0,T]}, \mathbb P)$

$T > 0$ $T > 0$
$P = \tilde{P}$ $\mathbb P = \tilde{\mathbb P}$

Questa è una misura neutrale al rischio .

$F_{t} = F_{t}^{W} = F_{t}^{\tilde{W}}$ $\mathscr F_t = \mathscr F_t^{{W}} = \mathscr F_t^{\tilde{W}}$

dove è standard - Moto bruno. $W = \tilde{W} = \{\tilde{W_t}\}_{t \in [0,T]} = \{{W_t}\}_{t \in [0,T]}$ $\mathbb P=\tilde{\mathbb P}$

Considera dove $M = \{M_t\}_{t \in [0,T]}$

M_{t} := \frac{\exp (- \int_{0}^{t} r_{s} d s)}{P (0, t)}

$M_t := \frac{\exp(-\int_0^t r_s ds)}{P(0,t)}$

Definisci misura in avanti : $\mathbb Q$

\frac{d Q}{d P} := M_{T} = \frac{\exp (- \int_{0}^{T} r_{s} d s)}{P (0, T)}

$\frac{d \mathbb Q}{d \mathbb P} := M_T = \frac{\exp(-\int_0^T r_s ds)}{P(0,T)}$

dove è un processo a tasso breve e è il prezzo delle obbligazioni al momento t. $\{r_t\}_{t \in [0,T]}$ $\{P(t,T)\}_{t \in [0,T]}$

Si può dimostrare che è un martingale dove la dinamica dei prezzi delle obbligazioni è data come: $\{\exp(-\int_0^t r_s ds)P(t,T)\}_{t \in [0,T]}$ $(\mathscr F_t, \mathbb P)-$

\frac{d P (t, T)}{P (t, T)} = r_{t} d t + ξ_{t} d W_{t}

$\frac{dP(t,T)}{P(t,T)} = r_t dt + \xi_t dW_t$

dove

$r_t$ e sono adattati $\xi_t$ $\mathscr F_t$
$\xi_t$ soddisfa le condizioni di Novikov (non credo che dovrebbe rappresentare qualcosa in particolare) $\xi_t$

Problema:

Definire il processo stocastico st $W^{\mathbb Q} = (W_t^{\mathbb Q})_{t\in[0,T]}$

$W_{t}^{Q} := W_{t} - \int_{0}^{t} ξ_{s} d s$ $W_t^{\mathbb Q} := W_t - \int_0^t \xi_s ds$
Usa il teorema di Girsanov per dimostrare:

$W_{t}^{Q} is standard Q -Brownian motion.$ $W_t^{\mathbb Q} \ \text{is standard} \ \mathbb Q \ \text{-Brownian motion.}$

Cosa ho provato:

Poiché soddisfa le condizioni di Novikov, $\xi_t$

\int_{0}^{T} ξ_{t} d t < \infty a.s. \to \int_{0}^{T} - ξ_{t} d t < \infty a.s.

$\int_0^T \xi_t dt < \infty \ \text{a.s.} \ \to \ \int_0^T -\xi_t dt < \infty \ \text{a.s.}$

\to L_{t} := \exp (- \int_{0}^{t} (- ξ_{s} d W_{s}) - \frac{1}{2} \int_{0}^{t} ξ_{s}^{2} d s)

$\to L_t := \exp(-\int_0^t (-\xi_s dW_s) - \frac{1}{2} \int_0^t \xi_s^2 ds)$

è una . $(\mathscr F_t, \mathbb P)-$

Di Girsanov Theorem,

W_{t}^{Q} is standard P^{*} -Brownian motion, where

$W_t^{\mathbb Q} \ \text{is standard} \ \mathbb P^{*} \ \text{-Brownian motion, where}$

\frac{d P^{*}}{d P} := L_{T}

$\frac{d \mathbb P^{*}}{d \mathbb P} := L_T$

Suppongo che sia standard -Brownian Motion se possiamo mostrare che $W_t^{\mathbb Q}$ $\mathbb Q$

L_{T} = \frac{d Q}{d P}

$L_T = \frac{d \mathbb Q}{d \mathbb P}$

Ho perso i miei appunti, ma penso di essere riuscito a mostrarlo usando il lemma di Ito

$d L_{t} = L_{t} ξ_{t} d W_{t}$ $dL_t = L_t \xi_t dW_t$
$d M_{t} = M_{t} ξ_{t} d W_{t}$ $dM_t = M_t \xi_t dW_t$

Da quelli deduco che

d (\ln L_{t}) = d (\ln M_{t})

$d(\ln L_t) = d(\ln M_t)$

\to L_{t} = M_{t}

$\to L_t = M_t$

\to L_{T} = M_{T}

$\to L_T = M_T$

QED

È giusto?

— BCLC
fonte

Perché il prezzo delle obbligazioni è scontato dal tasso breve una P-martingale? Il prezzo delle obbligazioni è un GBM generalizzato. Scrivilo come esponenziale di una diffusione Ito, si dovrebbe vedere che l'attualizzazione con il tasso breve non tiene conto della correzione Ito.

— Michael,

@Michael sei sicuro di voler dire P come neutrale al rischio e non P come nel mondo reale?

— BCLC,

Ok capisco. Se risolvi la SDE per come esponenziale Ito, sostituisci in , vedrai che il teorema di Girsanov si applica immediatamente. Inoltre, e non sono gli stessi nell'impostazione Ito. Nel tuo argomento, si dovrebbe invece invocare l'unicità di solide soluzioni di SDE.

P_{t}

$P_t$

M_{T}

$M_T$

\frac{d L}{L}

$\frac{dL}{L}$

d \ln L

$d \ln L$

— Michael,

@Michael Grazie! Quale parte dell'argomento esattamente?

— BCLC,

(Osservando la domanda e la notazione usate più da vicino, la formulazione sembra essere problematica in posti di coppia.)

Fatto generale

Sia un moto browniano standard rispetto alla filtrazione . Considera definito da In generale, è un super martingala. In alcune condizioni (ad esempio la condizione di Novikov), è una martingala e si può definire una misura di probabilità di Sotto , il processo è un moto browniano standard rispetto alla filtrazione $W$ $( \mathscr F_t )_{t \in [0,T]}$ $(L_t)_{t \in [0,T]}$

\frac{d L_{t}}{L_{t}} = ψ_{t} d L_{t}, L_{0} = 1.

$\frac{dL_t}{L_t} = \psi_t dL_t, \; L_0 = 1.$

L_{t} = e^{\int_{0}^{t} ψ_{s} d W_{s} - \frac{1}{2} \int_{0}^{t} ψ_{s}^{2} d s}

$L_t = e^{\int_0^t \psi_s dW_s - \frac12 \int_0^t \psi^2_s ds }$

L_{t}

$L_t$

Q

$\mathbb{Q}$

\frac{d Q}{d P} = L_{T} .

$\frac{d \mathbb Q}{d \mathbb P} = L_T.$

Q

$\mathbb{Q}$

W_{t}^{Q} = W_{t} - \int_{0}^{t} ψ_{s} d s

$W^{\mathbb{Q}}_t = W_t - \int_0^t \psi_s ds$

(F_{t})_{t \in [0, T]}

$( \mathscr F_t )_{t \in [0,T]}$ .

Un'indicazione informale del perché questo è vero è la seguente. Considera . Secondo il teorema di Bayes, è un -martingale se e solo se è un -martingale. Da $W^{\lambda}_t = W_t + \int_0^t \lambda_s ds$ $W^{\lambda}$ $\mathbb{Q}$ $L W^{\lambda}$ $\mathbb{P}$

\begin{aligned} d L W^{λ} & = L d W^{λ} + W^{λ} d L + d L d W^{λ} \\ = L (ψ + λ) d t + (\dots) d W, \end{aligned}

$\begin{align*} d L W^{\lambda} &= L d W^{\lambda} + W^{\lambda} dL + dL dW^{\lambda}\\ &= L (\psi + \lambda) dt + (\cdots) dW, \end{align*}$ dobbiamo avere , affinché sia un movimento -Brownian.

λ = - ψ

$\lambda = - \psi$

W^{λ}

$W^{\lambda}$

Q

$\mathbb{Q}$

Prezzo scontato come densità di probabilità

Le ipotesi implicite sono che esiste un'attività sottostante il cui prezzo segue sotto la misura del rischio neutro . I processi di tasso breve e volatilità sono adattati con sufficiente regolarità in modo che esistano gli integrali. (Perché ciò sia vero, la filtrazione browniana generata da sotto la misura del rischio neutro deve essere la stessa di quella generata dal moto fisico browniano sotto la misura fisica, in modo che si applichi il Teorema di Rappresentazione Martingale.) $S_t$

\frac{d S_{t}}{S_{t}} = r_{t} d t + σ_{t} d W_{t}

$\frac{dS_t}{S_t} = r_t dt + \sigma_t dW_t$

P

$\mathbb{P}$

(r_{t})

$(r_t)$

σ_{t}

$\sigma_t$

(W_{t})

$(W_t)$

In questa impostazione di filtrazione browniana, per qualsiasi rivendica , la dinamica neutrale al rischio del suo prezzo assume la forma Il processo è la volatilità del rendimento di , sotto la misura sia fisica che neutrale al rischio. $T$ $X_T$ $X_t$

\frac{d X_{t}}{X_{t}} = r_{t} d t + ψ_{t} d W_{t} .

$\frac{d X_t}{X_t} = r_t dt + \psi_t dW_t.$

(ψ_{t})

$(\psi_t)$

X_{t}

$X_t$

In altre parole, la dinamica neutrale al rischio del prezzo scontato è data da (Il prezzo scontato di qualsiasi reclamo deve seguire una martingala in misura neutrale al rischio, senza alcun arbitraggio.) $M_t = e^{- \int_0^t r_s ds} X_t$

\frac{d M_{t}}{M_{t}} = ψ_{t} d W_{t}, M_{0} = X_{0} .

$\frac{d M_t}{M_t} = \psi_t dW_t, \, M_0 = X_0.$

T

$T$

Se la condizione di Novikov è valida, allora definisce una densità Radon-Nikodym Sotto , il processo è un moto browniano standard rispetto alla filtrazione . $L_T = \frac{M_T}{M_0}$

\frac{d Q}{d P} = L_{T} .

$\frac{d \mathbb Q}{d \mathbb P} = L_T.$

Q

$\mathbb{Q}$

W_{t} - \int_{0}^{t} ψ_{s} d s

$W_t - \int_0^t \psi_s ds$

(F_{t})_{t \in [0, T]}

$( \mathscr F_t )_{t \in [0,T]}$

In altre parole, il payoff scontato di qualsiasi -claim , normalizzato dal suo tempo- prezzo , può essere considerato come la densità Radon-Nikodym di una misura . Sotto , il moto browniano neutrale al rischio ora ha una deriva data dalla volatilità del rendimento . $e^{- \int_0^T r_s ds} X_T$ $T$ $X_T$ $0$ $X_0$ $\mathbb Q$ $\mathbb Q$ $\frac{d X_t}{X_t}$

Se è il prezzo di un bene negoziato, allora è un -martingale. Ciò implica che è un -martingale. $(Y_t)$ $e^{- \int_0^t r_s ds} Y_t$ $\mathbb P$ $(\frac{Y_t}{X_t})$ $\mathbb Q$

Misura in avanti

La misura in avanti è un caso speciale di sopra dove è il tempo- prezzo del titolo zero coupon con scadenza a . In particolare, . Nell'espressione è la volatilità del rendimento sul legame zero coupon. $X_t = P(t,T)$ $t$ $T$ $X_T = P(T,T) = 1$

\frac{d P (t, T)}{P (t, T)} = r_{t} d t + ξ_{t} d W_{t},

$\frac{dP(t,T)}{P(t,T)} = r_t dt + \xi_t dW_t,$

ξ_{t}

$\xi_t$

(Se è deterministico, allora e la misura è la stessa della misura neutrale al rischio. L'obbligazione zero coupon è un'attività rischiosa solo quando il tasso short è stocastico.) $(r_t)$ $\xi = 0$

La misura corrispondente è definita da Dal momento che dalla discussione generale sopra risulta che, sotto , il processo è un moto browniano standard rispetto alla filtrazione . $\mathbb Q$

\frac{d Q}{d P} = \frac{e^{- \int_{0}^{T} r_{s} d s} P (T, T)}{P (0, T)} = L_{T} .

$\frac{d \mathbb Q}{d \mathbb P} = \frac{e^{- \int_0^T r_s ds} P(T,T)}{P(0,T)} = L_T.$

\frac{d L_{t}}{L_{t}} = ξ_{t} d W_{t},

$\frac{d L_t}{L_t} = \xi_t dW_t,$

Q

$\mathbb{Q}$

W_{t} - \int_{0}^{t} ξ_{s} d s

$W_t - \int_0^t \xi_s ds$

(F_{t})_{t \in [0, T]}

$( \mathscr F_t )_{t \in [0,T]}$

(Nella domanda pubblicata, la martingala dovrebbe essere . Sono i prezzi delle attività scontati che sono martingales sotto misura neutrale al rischio). $M_t$ $\frac{e^{- \int_0^t r_s ds} P(t,T)}{P(0,T)}$

Commenti empirici

La misura forward ha la proprietà che i prezzi forward formano un -martingale. $\mathbb Q$ $\mathbb Q$

Supponiamo che è il prezzo a termine del contratto a termine è entrato in con scadenza . Per nessun arbitraggio (parità spot-forward, in questo caso) che, dopo l'attualizzazione, è una -martingale. Quindi è un -martingale. $F(t,T)$ $t$ $T$

F (t, T) P (t, T) = S_{t}

$F(t,T) P(t,T) = S_t$

P

$\mathbb P$

F (t, T)

$F(t,T)$

Q

$\mathbb Q$

Poiché il prezzo a termine sposta inversamente rispetto a . La misura diretta sposta la massa di probabilità verso gli stati in cui il rendimento attualizzato dell'obbligazione zero coupon è alto, in modo tale da contrastare il movimento in e mantenere costante l'attesa (condizionale).

F (t, T) = \frac{S_{t}}{P (t, T)}

$F(t,T) = \frac{S_t}{P(t,T)}$

P (t, T)

$P(t,T)$

\frac{d (e^{- \int_{0}^{t} r_{s} d s} P (t, T))}{e^{- \int_{0}^{t} r_{s} d s} P (t, T)} = ξ_{t} d W_{t},

$\frac{d \left( e^{- \int_0^t r_s ds} P(t,T) \right)}{ e^{- \int_0^t r_s ds} P(t,T)} = \xi_t dW_t,$

P (t, T)

$P(t,T)$

— Michael
fonte

Grazie. allora ho ragione? o no?

— BCLC

Bene, ci sono alcune lacune nella tua discussione. 1. Le condizioni di Novikov non sono quotate correttamente. 2. Il processo di densità RN previsto non è definito correttamente. 3. Dopo aver usato il lemma di Ito, prendere i registri va bene, ma il risultato segue già dall'unicità delle soluzioni a SDE.

M_{t}

$M_t$

— Michael,

K grazie Michael!

— BCLC