Supponiamo che io abbia un seno da 1kHz, quindi nessuna armonica più alta, quindi devo campionarlo almeno a 2kHz per poterlo ricostruire.
Ma se eseguo il campionamento a 2kHz, ma tutti i miei campioni si trovano sul passaggio per lo zero, allora il mio segnale campionato non mostra affatto un seno, piuttosto l'ECG di un paziente deceduto. Come può essere spiegato?

Questo può essere esteso anche a frequenze di campionamento più elevate. Se campiono una forma d'onda più complessa a 10kHz, dovrei almeno ottenere le prime 5 armoniche, ma se la forma d'onda è tale che i campioni sono ogni volta zero, allora di nuovo non otteniamo nulla. Questo non è inverosimile, è perfettamente possibile per un'onda rettangolare con un duty cycle <10%.

Allora perché il criterio di Nyquist-Shannon sembra non essere valido qui?

Per campionare correttamente le onde sinusoidali da 1 kHz è necessaria una frequenza di campionamento di poco superiore a 2 kHz. È non f N ≤ f S /

PS Se hai portato il tuo segnale in uno spazio complesso, dove una sinusoide è della forma dove t è tempo, A è ampiezza, f è frequenza e θ è sfasamento, è il punto in cui la frequenza "si ripiega", ovvero non puoi distinguere f da -f . Ulteriori aumenti di frequenza appariranno, dopo il campionamento, per sottrarre la frequenza di campionamento da essi, nel caso di una sinusoide pura.f N = f S /

Non sinusoidi

Nel caso di un'onda quadra a 1 kHz con un duty cycle inferiore o uguale al 10% che viene campionato a 10 kHz, si fraintende l'ingresso.

Per prima cosa dovresti scomporre la forma d'onda in una serie di Fourier per capire quali sono le ampiezze delle armoniche componenti. Probabilmente rimarrai sorpreso dal fatto che le armoniche per questo segnale siano abbastanza grandi oltre i 5 kHz! (La regola empirica della terza armonica è 1/3 forte del fondamentale, e il 5 ° 1/5 del fondamentale, si applica solo al 50% delle onde quadrate del duty cycle .)

La regola empirica per un segnale di comunicazione è che la larghezza di banda complessa è uguale all'inverso del tempo dell'impulso più piccolo, quindi in questo caso stai osservando un minimo di larghezza di banda di 10 kHz (da -5 kHz a 5 kHz) per un duty cycle del 10% con il fondamentale a 1 kHz (ovvero 10 kbps).

Quindi ciò che ti rovinerà è che queste forti armoniche di ordine superiore si piegheranno e interferiranno (costruttivamente o distruttivamente) con le tue armoniche in banda, quindi è perfettamente prevedibile che potresti non ottenere un buon campionamento perché così tante informazioni sono al di fuori del Nyquist gruppo musicale.

Mike lo spiega bene: è l'aliasing che fa sparire le armoniche nel segnale campionato, il ripiegamento delle frequenze più alte da a . Quando lavori con segnali campionati devi sempre assicurarti di filtrare qualsiasi cosa sopra .F S - f F S / 2$F_S + f$$F_S - f$
$F_S / 2$

In questo spettro la parte blu è lo spettro del segnale della banda base da a . (Vedi questa domanda sulle frequenze negative). Si noti che questo spettro viene ripetuto attorno a ogni multiplo di . In questo esempio non ci sono problemi; il segnale originale è separato dalle immagini e può essere ricostruito. F S / 2 F $-F_S / 2$$F_S / 2$
$F_S$

In questo esempio (mostrate solo le frequenze positive) possiamo vedere che il segnale della banda base si estende oltre . A causa degli alias pieghevoli si sovrappongono al nostro segnale di base e non è possibile filtrarli di nuovo. Ecco perché è necessario un filtro passa-basso (nitido).$F_S / 2$

Ora potresti dire che l'impulso avrà un aspetto completamente diverso dopo il filtro passa-basso, ed è giusto, ma se non vuoi che tu abbia scelto la tua frequenza di campionamento troppo bassa. (Per un segnale discontinuo come l'impulso, che ha uno spettro infinito, avrai sempre distorsione, qualunque sia il tuo ). Ricorda che puoi ricostruire il segnale solo per frequenze inferiori a .F S /$F_S$$F_S / 2$

Il teorema è ok. Il segnale NON deve contenere frequenze uguali o superiori alla metà della frequenza di campionamento, secondo Nyquist. Shannon probabilmente lo consente, ma è la sua versione del teorema, che probabilmente causa ambiguità a frequenza critica.

Modifica (Ri: downvoting per una risposta breve?): Non vedo la necessità di spiegare il metodo di campionamento stesso. La domanda riguarda la confusione "è la frequenza critica inclusa nella banda o non lo è" e se la formulazione del teorema di Shannon contiene errori. In realtà lo fa (come lo vedo nella wiki del mondo). O molto probabilmente gli autori del wiki hanno citato la sua parola in modo impreciso. E a proposito, ci sono 4 autori indipendenti nel 20 ° secolo di questo stesso teorema, quindi la confusione di chiunque apprenda l'idea da fonti casuali può peggiorare.

Se si hanno 2 campioni su un'onda sinusoidale di e si verificano agli incroci zero, a e è possibile determinare la frequenza del segnale per il tempo tra i due campioni .$N Hz$1$\frac{1}{2}N$$1N$

$f=\dfrac{1}{2t}$

Dove è la frequenza e è il tempo tra due campioni di zero-crossing.$f$$t$

Ma secondo Wikipedia:

In sostanza, il teorema mostra che un segnale analogico bandlimited che è stato campionato può essere perfettamente ricostruito da una sequenza infinita di campioni se la frequenza di campionamento supera 2B campioni al secondo, dove B è la frequenza più alta nel segnale originale.

Quindi una frequenza di campionamento del doppio della frequenza è errata: dovrebbe essere poco più del doppio della frequenza. In questo modo i campioni successivi catturano porzioni leggermente diverse della forma d'onda.

Quando si campiona a una determinata frequenza F, ogni componente di frequenza f genererà alias della forma kF + f e kF- f per tutti i valori interi di k. Nell'uso comune, non ci sono componenti di frequenza sopra F / 2 quando il segnale viene campionato, quindi gli unici componenti nell'intervallo da 0 a F / 2 saranno quelli che erano presenti nel segnale originale. Dopo il campionamento, ci saranno componenti del segnale sopra F / 2 (generati come alias di quelli sotto). Il più problematico di questi per qualsiasi frequenza f nel segnale originale sarà quello alla frequenza F- f .

Si noti che come frequenza fsi avvicina a F / 2 dal basso, la prima frequenza alias si avvicina a F / 2 dall'alto. Se l'ingresso contiene un segnale alla frequenza F / 2-0,01Hz, ci sarà un alias alla frequenza F / 2 + 0,01Hz - appena 0,02Hz sopra di esso. Separare i segnali originali e alias sarà teoricamente possibile, ma in pratica difficile. La forma d'onda campionata apparirà come la somma di due onde di uguale intensità di frequenza quasi uguale. Come tale, la sua ampiezza sembrerà cambiare con la fase relativa delle onde ad alta frequenza. Nel caso in cui la frequenza di ingresso sia esattamente F / 2, anche la frequenza alias sarà esattamente F / 2. Poiché non vi sarà alcuna separazione di frequenza tra l'originale e l'alias, la separazione sarà impossibile. La relazione di fase tra i segnali originali e quelli con alias determinerà l'ampiezza del segnale risultante.