La risposta a passo finito di un polo del sistema all'origine è illimitata, come è criticamente stabile?

Questa è una domanda che uno dei miei studenti ha sollevato in classe e ho pensato che valesse la pena inviarlo.

Quando si considera la stabilità di un sistema lineare invariante nel tempo, è spesso utile osservare le posizioni dei poli sulla mappa polo-zero. Di solito una delle prime cose che viene insegnata in un corso di laurea in ingegneria dei sistemi è che i poli situati sul piano S di LHS sono stabili, mentre i poli situati sul piano S di RHS sono instabili. Inoltre, i poli situati sull'asse immaginario sono considerati "criticamente stabili".

Un esempio di tali sistemi criticamente stabili sarebbe: G2=Y

$$G_1 = \frac{Y_1}{U_1} = \frac{1}{s^2+\omega_n^2}$$ Il valore esatto diωnnon è importante per questa domanda. I poli diG1eG2sono tracciati sulla mappa polo-zero in basso. $$G_2 = \frac{Y_2}{U_2} = \frac{1}{s}$$ $\omega_n$$G_1$$G_2$

Quindi diamo un'occhiata al comportamento di questi poli criticamente stabili. Se sottoposto a un input a passo finito, produrrà un'oscillazione limitata con ampiezza costante:$G_1$

$G_2$

Pensavo che solo i sistemi instabili avessero risposte a passo finito illimitate.

Se la risposta a passo finito di un sistema LTI con un polo all'origine è illimitata, perché diciamo che il sistema è criticamente stabile?

Il problema principale qui è un fraintendimento di come viene definita la stabilità. La stabilità non è definita dalla risposta del gradino, ma è invece definita dalla risposta del sistema alle condizioni iniziali (o una risposta all'impulso). Da Katsuhiko Ogata Modern Control Engineering, 5a edizione. :

Un sistema di controllo invariante lineare nel tempo è stabile se alla fine l'uscita ritorna al suo stato di equilibrio quando il sistema è sottoposto a una condizione iniziale. Un sistema di controllo invariante lineare nel tempo è criticamente stabile se le oscillazioni dell'uscita continuano per sempre. È instabile se l'uscita diverge senza limite dal suo stato di equilibrio quando il sistema è soggetto a una condizione iniziale .

[Enfasi mia].

Da una prospettiva puramente fisica

Un altro modo di formulare questo è: in presenza di zero input e condizioni iniziali diverse da zero, l'energia del sistema aumenta, diminuisce o rimane costante nel tempo? Se l'energia diminuisce nel tempo, il sistema è stabile. Se l'energia aumenta nel tempo, il sistema è instabile. Se l'energia del sistema rimane costante nel tempo, il sistema è criticamente stabile.

$G_1$

$$m\ddot{y}_1(t) + ky_1(t) = u_1(t)$$ $y_1$$u_1$$k$$m$$u_1=0$

$G_2$

$$m\dot{y}_2(t)=u_2(t)$$ $y_2$$m$$u_2$è una forza esterna applicata alla massa. Se si applica una certa velocità iniziale alla massa e non vi è alcun attrito o alcun tipo di dissipazione di energia e non vi è alcuna forza esterna che esegue lavori sul sistema, rimarrà tale velocità per sempre. L'energia nel sistema è tutta cinetica ed è immagazzinata nella massa. Nessuna energia viene creata o dissipata, quindi estremamente stabile.

Dal punto di vista dell'ingegneria dei sistemi

È possibile rappresentare condizioni iniziali diverse da zero utilizzando la risposta all'impulso del sistema. Quindi, ai fini dell'ingegneria dei sistemi, se la risposta all'impulso del sistema è limitata, il sistema è almeno criticamente stabile. Se la risposta all'impulso del sistema si avvicina a zero, allora il sistema è stabile. Se la risposta all'impulso del sistema è illimitata, allora è instabile.

$$m\dot{y}(t) = u(t)$$ $$m(sY(s) - y(0)) = U(s)$$ $$Y(s) = \frac{U(s)/m + y(0)}{s}$$ $$Y(s) = \frac{y(0)}{s}$$ $y(0) = 1$ $$Y(s) = \frac{1}{s}$$ $m$$u(t) = m\delta(t)$$\delta(t)$ $$Y(s) = \frac{1}{s}$$