Equazioni differenziali di un ponte di carico (semplificato)

9

Sto riscontrando problemi nel calcolare le equazioni differenziali di un ponte di carico semplificato.

Il sistema è costruito come mostrato nella figura sotto (solo uno schizzo):

Se utilizzo l'approccio di Newton, ottengo le seguenti equazioni trascurando attrito, resistenza dell'aria e variazioni della lunghezza della fune:

m_{k} {\ddot{x}}_{k} = F_{A} + F_{S} \sin (φ) m_{G} {\ddot{x}}_{G} = - F_{S} \sin (φ) m_{G} {\ddot{z}}_{G} = m_{G} g - F_{S} \cos (φ)

$m_k \ddot{x}_{k} = F_{A} + F_{S} \sin(\varphi) \\ m_G \ddot{x}_{G} = -F_{S} \sin(\varphi) \\ m_G \ddot{z}_{G} = m_{G} g - F_{S} \cos(\varphi)$

Quando guardo le relazioni cinematiche dalla pinza (il cerchio con il peso ) ottengo le seguenti equazioni. $m_G$

x_{G} = x_{k} + l \sin (φ) z_{G} = l \cos (φ) φ = ω t = \dot{φ} t

$x_{G} = x_{k} + l \sin(\varphi) \\ z_{G} = l \cos(\varphi)\\ \varphi = \omega t = \dot{\varphi} t$

Conosco i pesi e e la lunghezza ma i valori non sono importanti in questo momento. $m_k$ $m_G$ $l$

L'obiettivo è quello di avere due equazioni differenziali alla fine. Un'equazione deve mostrare la relazione tra la forza motrice e il percorso del carrello (con derivazioni) L'altra equazione deve mostrare la relazione tra forza motrice e l'angolo della corda . $F_A$ $x_k$ $F_A$ $\varphi_G$

Dopodiché voglio fare le funzioni di trasferimento (trasformazione di Laplace ecc.) Ma non è questo il problema.

Il problema è che non riesco a trovare quelle equazioni. Finora il mio approccio migliore è simile al seguente:

m_{k} {\ddot{x}}_{k} = F_{A} + F_{S} \sin (φ)

$m_{k} \ddot{x}_{k} = F_{A} + F_{S} \sin(\varphi)$

Quindi questo significa se

m_{G} {\ddot{x}}_{G} = - F_{S} \sin (φ) F_{S} \sin (φ) = - m_{G} {\ddot{x}}_{G}

$m_G \ddot{x}_{G} = -F_{S} \sin(\varphi) \\ F_{S} \sin(\varphi) = -m_{G} \ddot{x}_{G} \\$

Posso dire:

m_{k} {\ddot{x}}_{k} = F_{A} - m_{G} {\ddot{x}}_{G}

$m_{k} \ddot{x}_{k} = F_{A} - m_{G} \ddot{x}_{G} \\$

$x_{G}$

x_{G} = x_{k} + l \sin (φ) {\dot{x}}_{G} = {\dot{x}}_{k} + l \dot{φ} \cos (φ) {\ddot{x}}_{G} = {\ddot{x}}_{k} + l [\ddot{φ} \cos (φ) - {\dot{φ}}^{2} \sin (φ)]

$x_{G} = x_{k} + l \sin(\varphi) \\ \dot{x}_{G} = \dot{x}_{k} + l \dot{\varphi} \cos(\varphi) \\ \ddot{x}_{G} = \ddot{x}_{k} + l \left[ \ddot{\varphi} \cos(\varphi) - \dot{\varphi}^{2} \sin(\varphi) \right]$

$\varphi$

Qualcuno ha un'idea di come dovrei continuare a questo punto? Spero di non aver bisogno di una soluzione completa. In realtà sono più interessato a farlo da solo e spero di ottenere una spinta nella giusta direzione.

— TLP
fonte

4

La mia ipotesi è che probabilmente hai bisogno di un'altra equazione differenziale per il movimento angolare, che comporterà l'inerzia, come ad esempio:

m_{G} l^{2} \ddot{φ} = m_{G} g l \sin (φ)

$m_G l^2 \ddot{\varphi} = m_G g l \sin(\varphi)$

che produce:

\ddot{φ} = \frac{g}{l} \sin (φ)

$\ddot{\varphi} = \frac{g}{l} \sin(\varphi)$

È quindi possibile utilizzare l'approssimazione di piccoli angoli:

\sin (φ) ≃ φ

$\sin(\varphi) \simeq \varphi$

Guarda l' esempio del pendolo invertito .

— am304
fonte

Soprattutto il pendolo rovesciato è molto utile ... grazie per quello - non ci avevo pensato

— fino al

5

Cinematica e dinamica

Questi sono i passi per risolvere problemi di questa natura.

Analizza la cinematica del sistema.

$\hspace{5.em}$ $_{o}\vec{r}_{OP}$ $_{o}\vec{r}_{OR}$ $_{o}\vec{r}_{RP}$

$\hspace{5.em}$ $_{o}\vec{r}_{OP}$ $_{o}\vec{r}_{OR}$ $R(\varphi) _{B}\vec{r}_{RP}$

$\hspace{5.em}$ $_{o}\vec{r}_{OP}$ $\big(x_{k}î + 0j + 0k \big)$ $\big(\sin(\varphi)l î + 0j + \cos(\varphi)lk\big)$

$\hspace{5.em}$ $_{o}\vec{r}_{OP}$ = $\big[\big(x_{k}+\sin(\varphi)l\big)î + 0j + \big(\cos(\varphi)l\big)k\big]$

nota: è una matrice di rotazione e . $R(\varphi)$ $x_{G} = x_{k}+\sin(\varphi)l$

Prendendo i derivati del tempo:

$\hspace{5.em}$ $\dot{x_{G}}$ = $\dot{x_{k}}+\cos(\varphi)\dot{\varphi}l$

$\hspace{5.em}$ $\ddot{x_{G}}$ = $\ddot{x_{k}} + l\cos(\varphi)\ddot{\varphi} - l\sin(\varphi)\dot{\varphi}^{2}$

Usa l'equazione di Newton:

$\hspace{5.em}$ $m_{k}\ddot{x_{k}} = F_{A} - m_{G}\ddot{x_{G}}$

Sostituisci : $x_{G}$

$\hspace{5.em}$ $m_{k}\ddot{x_{k}} = F_{A} - m_{G}\big(\ddot{x_{k}} + l\cos(\varphi)\ddot{\varphi} - l\sin(\varphi)\dot{\varphi}^{2}\big)$

$\hspace{5.em}$ $\big(m_{k}+m_{G}\big)\ddot{x_{k}} + m_{G}\big(l\cos(\varphi)\ddot{\varphi}\big) - m_{G}\big(l\sin(\varphi)\dot{\varphi}^{2}\big)= F_{A}$

Per l'asse z:

$\hspace{5.em}$ $F_{Z}$ = $m_{G}g-l\big(\cos(\varphi)\dot{\varphi}^{2}+\sin(\varphi)\ddot{\varphi}\big)$

Usa la seconda legge di Newton per la rotazione:

$\hspace{5.em}$ $I\ddot{\varphi}$ = $F_{Z}l\sin(\varphi)-\big(m_{G}\ddot{x_{G}}\big)l\cos(\varphi)$

$F_{Z}l\sin(\varphi) = m_{G}gl\sin(\varphi)-l^{2}\big(\cos(\varphi)\sin(\varphi)\dot{\varphi}^{2}+\sin(\varphi)^{2}\ddot{\varphi}\big)$

$\big(m_{G}\ddot{x_{G}}\big)l\cos(\varphi) = m_{G}\big(l^{2}\cos(\varphi)^{2}\ddot{\varphi}\big) - m_{G}\big(l^{2}\cos(\varphi)\sin(\varphi)\dot{\varphi}^{2}\big)+m_{G}\ddot{x_{K}}l\cos(\varphi)$

Utilizzando le identità di trigonometria:

$\hspace{5.em}$ $\big(I+m_{G}l^{2}\big)\ddot{\varphi}$ = $m_{G}gl\sin(\varphi)-m_{k}l\cos(\varphi)\ddot{x_{k}}$

Fatto! Ora puoi riposare ... $\ddot\smile$

— leCrazyEngineer
fonte