Come altri hanno notato nei commenti, il metodo di integrazione di Eulero di base descritto nella risposta di tenpn soffre di alcuni problemi:
Anche per un semplice movimento, come il salto balistico sotto gravità costante, introduce un errore sistematico.
L'errore dipende dal timestep, nel senso che cambiando il timestep cambia le traiettorie degli oggetti in modo sistematico che può essere notato dai giocatori se il gioco utilizza un timestep variabile. Anche per i giochi con un timestep di fisica fisso, la modifica del timestep durante lo sviluppo può influire notevolmente sulla fisica del gioco, come la distanza che un oggetto lanciato con una data forza volerà, potenzialmente rompendo i livelli precedentemente progettati.
Non conserva energia, anche se la fisica sottostante dovrebbe. In particolare, gli oggetti che dovrebbero oscillare costantemente (ad es. Pendoli, molle, pianeti orbitanti, ecc.) Possono accumulare costantemente energia fino a quando l'intero sistema non si rompe.
Fortunatamente, non è difficile da sostituire l'integrazione di Eulero con qualcosa che è quasi il più semplice, ma ha nessuno di questi problemi - in particolare, un secondo ordine integratore simplettica come ad esempio l'integrazione cavallina o strettamente correlato velocità metodo Verlet . In particolare, dove l'integrazione di base di Euler aggiorna la velocità e la posizione come:
accelerazione = forza (tempo, posizione) / massa;
tempo + = timestep;
posizione + = timestep * velocità;
velocità + = timestep * accelerazione;
il metodo Velocity Verlet fa così:
accelerazione = forza (tempo, posizione) / massa;
tempo + = timestep;
posizione + = timestep * ( velocità + timestep * accelerazione / 2) ;
newAcceleration = force (time, position) / mass;
velocity + = timestep * ( acceleration + newAcceleration) / 2 ;
Se si hanno più oggetti interagenti, è necessario aggiornare tutte le loro posizioni prima di ricalcolare le forze e aggiornare le velocità. Le nuove accelerazioni possono quindi essere salvate e utilizzate per aggiornare le posizioni al successivo timestep, riducendo il numero di chiamate force()a uno (per oggetto) per timestep, proprio come con il metodo Euler.
Inoltre, se l'accelerazione è normalmente costante (come la gravità durante il salto balistico), possiamo semplificare quanto sopra solo a:
tempo + = timestep;
posizione + = timestep * ( velocità + timestep * accelerazione / 2) ;
velocità + = timestep * accelerazione;
dove il termine aggiuntivo in grassetto è l'unica modifica rispetto all'integrazione di base di Euler.
Rispetto all'integrazione di Eulero, i metodi velocity Verlet e leapfrog hanno diverse belle proprietà:
Per un'accelerazione costante, forniscono risultati esatti (fino a errori di arrotondamento in virgola mobile, comunque), il che significa che le traiettorie del salto balistico rimangono invariate anche se il timestep viene modificato.
Sono integratori del secondo ordine, il che significa che, anche con un'accelerazione variabile, l'errore di integrazione medio è solo proporzionale al quadrato del timestep. Ciò può consentire tempi più lunghi senza compromettere la precisione.
Sono simpatici , nel senso che conservano energia se la fisica sottostante lo fa (almeno fino a quando il tempo è costante). In particolare, ciò significa che non riuscirai a far volare spontaneamente cose come i pianeti dalle loro orbite, o gli oggetti attaccati l'uno all'altro con molle che oscillano gradualmente sempre di più fino a quando tutto esplode.
Tuttavia, il metodo Velocity Verlet / leapfrog è quasi semplice e veloce come l'integrazione di base di Euler, e sicuramente molto più semplice delle alternative come l' integrazione di Runge-Kutta del quarto ordine (che, sebbene generalmente un integratore molto carino, manca della proprietà simpatica e richiede quattro valutazioni della force()funzione per fase temporale). Pertanto, li consiglio vivamente a chiunque scriva qualsiasi tipo di codice di fisica del gioco, anche se è semplice come saltare da una piattaforma all'altra.
Modifica: Mentre la derivazione formale del metodo Verlet di velocità è valida solo quando le forze sono indipendenti dalla velocità, in pratica puoi usarla bene anche con forze dipendenti dalla velocità come la resistenza del fluido . Per risultati ottimali, è necessario utilizzare il valore di accelerazione iniziale per stimare la nuova velocità per la seconda chiamata force(), in questo modo:
accelerazione = forza (tempo, posizione, velocità) / massa;
tempo + = timestep;
posizione + = timestep * ( velocità + timestep * accelerazione / 2) ;
velocità + = timestep * accelerazione;
newAcceleration = forza (tempo, posizione, velocità) / massa;
velocity + = timestep * (newAcceleration - acceleration) / 2 ;
Non sono sicuro che questa particolare variante del metodo Velocity Verlet abbia un nome specifico, ma l'ho testato e sembra funzionare molto bene. Non è così accurato come Runge-Kutta di ordine di bocca (come ci si aspetterebbe da un metodo del secondo ordine), ma è molto meglio di Euler o del Verlet di velocità ingenuo senza la stima della velocità intermedia, e mantiene ancora la proprietà simplettica del normale Verlet di velocità per forze conservative, non dipendenti dalla velocità.
Modifica 2: Un algoritmo molto simile è descritto ad esempio da Groot & Warren ( J. Chem. Phys. 1997) , sebbene, leggendo tra le righe, sembra che abbiano sacrificato una certa precisione per una maggiore velocità salvando il newAccelerationvalore calcolato usando la velocità stimata e riutilizzandolo come accelerationper il prossimo timestep. Introducono anche un parametro 0 ≤ λ ≤ 1 che viene moltiplicato per accelerationnella stima della velocità iniziale; per qualche ragione, raccomandano λ = 0,5, anche se tutti i miei test suggeriscono che λ= 1 (che è effettivamente quello che uso sopra) funziona bene o meglio, con o senza il riutilizzo dell'accelerazione. Forse ha qualcosa a che fare con il fatto che le loro forze includono una componente stocastica del movimento browniano.