Modifica dell'orientamento mediante l'applicazione di coppie

Supponiamo di avere un oggetto fluttuante liberamente nello spazio. Hai un vettore verso cui vuoi puntare questo oggetto e un vettore che rappresenta la direzione verso cui è attualmente rivolto. Da questi due, è possibile ottenere la rotazione (matrice, quaternione, qualunque cosa) che rappresenta il cambiamento di orientamento per allineare i due vettori.

Se hai solo la possibilità di applicare la coppia (derivata della velocità angolare) al tuo oggetto, qual è un buon algoritmo per applicare la coppia nel tempo che non supererà / scenderà la destinazione?

(In questo caso, è una nave spaziale che vuole orientarsi automaticamente nella direzione di marcia usando i propulsori. Il rollio è irrilevante.)

Questo può essere gestito come il caso simile per l'accelerazione lineare.

Primo fatto da notare: poiché la nave inizia con una velocità angolare pari a zero, e si desidera che finisca con una velocità angolare pari a zero, ciò significa che la variazione totale della velocità deve essere uguale a zero.

Da questo possiamo vedere che l'integrale dell'accelerazione nel tempo deve essere uguale a zero - ci deve essere esattamente "tanto" accelerazione positiva quanto vi è accelerazione negativa.

Pertanto, la tua soluzione, qualunque essa sia, deve essere vincolata a questa proprietà: uguale accelerazione "totale" avanti e indietro.

Ecco cosa dovrebbe seguire la forma della tua accelerazione nel tempo:

Guardando questo, ci sono così tante forme e forme possibili nella tua accelerazione! Facciamo alcune ipotesi sulla forma di accelerazione che desideri, al fine di dare una risposta facile / concisa.

Per una semplice risposta, avrò l'accelerazione in uno dei tre stati: avanti, indietro o zero. Avanti e indietro avranno la stessa ampiezza e gli stati possono essere commutati istantaneamente. (non c'è graduale accelerazione dell'accelerazione)

Puoi trovare la variazione di distanza per una determinata accelerazione in un determinato periodo di tempo con questa equazione:

s = 0.5*a*t^2

La soluzione più semplice qui sarebbe quella di accelerare fino a raggiungere il punto a metà strada, quindi rallentare il resto del percorso.

Prenderemo Pcome distanza totale che vuoi spostare:

s = P/2
P/2 = 0.5*a*t^2
P = a*t^2
t^2 = P/a
t = sqrt(P/a)

Quindi in poche parole:

1. Accelera a aper sqrt(P/a)unità di tempo (unità basate sulle tue unità per l'accelerazione)
2. Decelerare alla stessa grandezza per la stessa quantità di tempo

Questa non è l'unica soluzione. Ti porterà lì nel più breve tempo ( 2*sqrt(P/a)). E se volessi una versione più rilassata?

In questo caso, puoi accelerare 1/3 del percorso, costeggiare il 1/3 e decelerare il resto del terzo. Oppure 1/4 °, costa per 1/2, rallenta anche 1/4 °.

O forse potresti accelerare per un determinato periodo di tempo, quindi decelerare per un determinato periodo di tempo, ma attendi che arrivi alla posizione esatta prima di iniziare a rallentare.