Come faccio a convertire tra due diversi sistemi di coordinate 2D?

Sto cercando di convertire una coordinata da un sistema di coordinate a un altro, in modo da poterlo disegnare su un'immagine.

Fondamentalmente il sistema di coordinate di destinazione è il seguente:

X range: 0 to 1066
Y range: 0 to 1600

(solo un'immagine standard su cui sto disegnando con le dimensioni di 1066 x 1600)

La posizione che sto cercando di disegnare sull'immagine ha effettivamente le stesse dimensioni esatte, ma il sistema di coordinate è diverso. L'intervallo di tutte le coordinate è 1066x1600.

Ma un esempio di coordinate sarebbe:

(111.33f, 1408.41f)
(-212.87f, 1225.16f)

La gamma di questo sistema di coordinate è:

X range: -533.333 to 533.333
Y range: 533.333 to 2133.333

Sento che questa è Matematica MOLTO semplice, ma per qualche ragione non la capisco.

Come posso convertire le coordinate fornite nel primo sistema di coordinate?

Puoi normalizzare il primo valore, questo ti darà un valore nell'intervallo [0,1]. Puoi considerarlo come percentuale X, la percentuale a cui il valore è mappato tra i valori minimo e massimo. Quindi puoi scoprire dove appartiene quella percentuale nel tuo sistema di coordinate di destinazione vedendo quale valore è la percentuale X attraverso il sistema di destinazione. Userò il codice Java come linguaggio di esempio, sono sicuro che i concetti sono abbastanza chiari da tradurre in qualsiasi lingua.

Quindi normalizza:

public static float normalize(float value, float min, float max) {
    return Math.abs((value - min) / (max - min));
}

Usando il tuo esempio avresti inserito:

xPercent = normalize(x,0,1066);

Quindi trova dove si trova nel sistema di destinazione. Con qualcosa del genere

destX = xPercent*(Math.abs(max-min)) + min;

O per usare i tuoi valori:

destX = xPercent*(Math.abs(533.33--533.33)) + -533.33;

Quindi, ad esempio, con un valore x di 1000, dovresti mapparlo sul tuo sistema di coordinate di destinazione 467.29.

In alternativa , se i sistemi di coordinate saranno sempre gli stessi, è possibile pre-calcolare il rapporto tra loro.

Così:

xRatio = (Math.abs(srcMax-srcMin))/(Math.abs(destMax-destMin));

destX = x*xRatio+destMin;

È semplice matematica:

res = ( src - src_min ) / ( src_max - src_min ) * ( res_max - res_min ) + res_min

src - sistema di coordinate di origine

sistema di coordinamento dei risultati

Modifica - spiegazione della matematica

( src - src_min ) / ( src_max - src_min )lo traduce in un sistema di coordinate a partire da zero con uguale lunghezza del sistema di coordinate di origine (0.0, src_max - src_min ). Quindi ridimensiona il valore per coordinare il sistema (0.0, 1.0).

* ( res_max - res_min ) questo scala il valore per coordinare il sistema a partire da zero con la lunghezza del sistema di coordinamento dei risultati (0.0, dst_max - dst_min)

+ res_min traduce il valore nel sistema di coordinate del risultato (dst_min, dst_max)

L'equazione di base per la trasformazione di coordinate 2D (in algebra, senza rotazione) è:

TargetCoordinate = TranslateFactor + ScalingFactor*SourceCoordinate

dati due punti in TargetCoordinate (T1, T2) che corrispondono a due punti in SourceCoordinate (S1, S2) TranslateFactore ScalingFactorvengono dati risolvendo:

T1 = TranslateFactor + ScalingFactor*S1
T2 = TranslateFactor + ScalingFactor*S2

quale risultato:

TranslateFactor = (T2*S1 - T1*S2) / (S1 - S2)
ScalingFactor   = (T2 - T1) / (S2 - S1)

Nel tuo caso, per la coordinata x

S1 = 0    -> T1 = -533.333
S2 = 1066 -> T2 = 53.333

E quindi,

TranslateFactor = -533.333
ScalingFactor   = 1.000625
=> TargetCoordinate = (-533.333) + (1.000625)*SourceCoordinate

Le coordinate y seguono la stessa procedura

Fare alcune ipotesi:

• Sei (eventualmente) interessato a un'impementazione di matrice, per praticità e potenza; e
• Hai familiarità con coordinate omogenee.

Quindi la domanda passa a: Qual è la matrice di trasformazione omogenea per il mio cambiamento di base?

Per rispondere a questa domanda abbiamo prima bisogno delle risposte a tre domande sussidiarie:

1. Dove si è trasferita la mia origine?
2. Che cosa è successo al mio asse X? Sia (M11, M12) le coordinate del punto
3. Che cosa è successo al mio asse Y?

Definire le risposte a queste tre domande come segue:

1. (M31, M32) sono le coordinate della nuova origine nel sistema di coordinate originale.
2. (M11, M12) sono le coordinate del nuovo vettore x unità nel sistema di coordinate originale.
3. (M21, M22) sono le coordinate del nuovo vettore y unità nel sistema di coordinate originale.

Quindi la matrice di trasformazione omogenea è:

( M11, M12,  0 )
( M21, M22,  0 )
( M31, M32,  1 )

La mia convenzione qui è che i punti sono rappresentati da vettori di riga, che è la normale convenzione di computer grafica; i matematici e i fisici usano spesso l'opposto.