Posizione del progetto su un percorso (grande cerchio)

Sto cercando questo sito SE da un paio d'ore ormai, e sto ancora lottando per trovare una soluzione alla mia domanda. Il mio obiettivo è quello dato un modo in OSM e la mia posizione (coordinate lat / lon), voglio trovare la posizione più vicina (coordinate lat / lon) in quel modo. Il punto può essere ovunque lungo la strada, non limitato ai punti utilizzati per definire la strada.

Quindi sto pensando al seguente algoritmo:

1. Separare il percorso in bordi separati, ogni bordo collega solo due punti.
2. Seleziona il bordo più vicino.
3. Proietta la mia posizione su quel bordo.

Ora ci sono molte domande sul calcolo della distanza tra una posizione e un percorso:

• WGS indica la distanza del segmento di linea WGS (cerchio grande)
• Calcolo della distanza tra un punto e una linea virtuale di due lat / lng
• Come approssimare la distanza punto-segmento sulla sfera?

Anche una domanda molto simile di cui non riesco a ottenere i calcoli giusti o verificati:

• Trova il punto più vicino su una linea

Ci sono anche alcune informazioni da parte del Dr. Math sull'argomento. Tuttavia, non riesco a trovare un algoritmo per calcolare la posizione nel passaggio 3. Dato che non ho toccato l'algebra (vettoriale) da un po 'di tempo, non capisco bene la logica in quelle risposte.

Qualcuno può mostrare un algoritmo per fare questo? Una soluzione in qualsiasi linguaggio di programmazione ragionevole va bene per me.

L'uso di un modello sferico della terra può fornire un'accuratezza adeguata e portare a semplici calcoli veloci.

Converti tutte le coordinate in coordinate cartesiane centrate sulla terra (3D). Ad esempio, la formula

(cos(lon)*cos(lat), sin(lon)*cos(lat), sin(lat))

andrà bene. (Utilizza una misura della distanza in cui il raggio terrestre è un'unità, il che è conveniente.)

Scrivendo X0 = (x0, y0, z0) per il punto iniziale e X1 = (x1, y1, z1) per il punto di destinazione, che definiscono il grande cerchio (purché X0 sia distinto da X1 e i due non siano diametralmente opposti), sia U il prodotto incrociato normalizzato di X0 e X1. Questo viene calcolato in due passaggi:

V = (xv, yv, zv) = (y0*z1 - z0*y1, z0*x1 - x0*z1, x0*y1 - y0*x1)

La lunghezza di V è

|V| = sqrt(xv^2 + yv^2 + zv^2)

La normalizzazione estende V alla lunghezza dell'unità:

U = (xu, yu, zu) = V / |V| = (xv/|V|, yv/|V|, zv/|V|).

La distanza 3D orientata tra qualsiasi punto X = (x, y, z) e il piano di questo grande cerchio è solo il prodotto punto di X con Z, dato da

d = X * U = x*xu + y*yu + z*zu

Il punto più vicino in termini di distanza sulla superficie terrestre è quello più vicino al piano: quindi ha il valore assoluto più piccolo di d .

Questa figura mostra un grande cerchio (in nero) determinato dai due punti bianchi e 2000 punti casuali sulla sfera colorati e ombreggiati in base alla loro distanza 3D assoluta dal piano di quel grande cerchio; cioè, | d |.

Dopo aver trovato il punto più vicino, proiettalo sul grande cerchio proiettandolo prima sul piano del grande cerchio (in 3D) e poi estendendolo radialmente verso l'esterno alla superficie terrestre. La proiezione sottrae semplicemente d * U:

X' = (x', y', z') = X - d*U = (x - d*xu, y - d*yu, z - d*zu).

La proiezione radiale semplicemente rinormalizza X 'nello stesso modo in cui V è stato rinormalizzato in U:

X'' = X' / |X'|.

(Ciò sarà problematico se | X '| = 0, che si verifica quando il punto più vicino è uno dei poli del grande cerchio. Includere un test nel codice per questa condizione, se ciò può accadere, e affrontarlo separatamente, usando il segno di d per identificare quale polo.)

Se lo desideri, converti le coordinate di X '' in (lat, lon) usando le solite formule .