Quanto è precisa l'approssimazione della Terra come una sfera?

Quale livello di errore si verifica quando si avvicina la terra come una sfera? In particolare, quando si ha a che fare con la posizione dei punti e, ad esempio, le grandi distanze del cerchio tra di loro.

Esistono studi sull'errore medio e nel caso peggiore rispetto a un ellissoide? Mi chiedo quanta precisione avrei sacrificato se vado con una sfera per motivi di calcoli più facili.

Il mio particolare scenario prevede la mappatura diretta delle coordinate WGS84 come se fossero coordinate su una sfera perfetta (con il raggio medio definito dallo IUGG) senza alcuna trasformazione.

In breve, la distanza può essere in errore fino a circa 22 km o 0,3%, a seconda dei punti in questione. Questo è:

• L'errore può essere espresso in diversi modi naturali e utili , come (i) errore (residuo), uguale alla differenza tra le due distanze calcolate (in chilometri) e (ii) errore relativo, uguale alla differenza divisa per il valore "corretto" (ellissoidale). Per produrre numeri convenienti con cui lavorare, moltiplico questi rapporti per 1000 per esprimere l'errore relativo in parti per mille .

• Gli errori dipendono dagli endpoint. A causa della simmetria rotazionale dell'ellissoide e della sfera e delle loro simmetrie bilaterali (nord-sud ed est-ovest), possiamo posizionare uno degli estremi da qualche parte lungo il meridiano principale (longitudine 0) nell'emisfero nord (latitudine tra 0 e 90 ) e l'altro endpoint nell'emisfero orientale (longitudine tra 0 e 180).

Per esplorare queste dipendenze, ho tracciato gli errori tra gli endpoint a (lat, lon) = (mu, 0) e (x, lambda) in funzione della latitudine x tra -90 e 90 gradi. (Tutti i punti sono nominalmente a un'altezza dell'ellissoide pari a zero.) Nelle figure, le righe corrispondono ai valori di mu a {0, 22,5, 45, 67,5} gradi e le colonne ai valori di lambda a {0, 45, 90, 180} gradi. Questo ci dà una buona visione dello spettro di possibilità. Come previsto, le loro dimensioni massime sono circa l'appiattimento (circa 1/300) volte l'asse maggiore (circa 6700 km), o circa 22 km.

Errori

Errori relativi

Trama di contorno

Un altro modo per visualizzare gli errori è correggere un endpoint e lasciare che l'altro vari, contornando gli errori che si presentano. Qui, ad esempio, è un diagramma di contorno in cui il primo endpoint è a 45 gradi di latitudine nord, 0 gradi di longitudine. Come in precedenza, i valori di errore sono espressi in chilometri e gli errori positivi indicano che il calcolo sferico è troppo grande:

Potrebbe essere più facile da leggere se avvolto in tutto il mondo:

Il punto rosso nel sud della Francia mostra la posizione del primo endpoint.

Per la cronaca, ecco il codice Mathematica 8 utilizzato per i calcoli:

WGS84[x_, y_] := GeoDistance @@ (GeoPosition[Append[#, 0], "WGS84"] & /@ {x, y});
sphere[x_, y_] := GeoDistance @@
   (GeoPosition[{GeodesyData["WGS84", {"ReducedLatitude", #[[1]]}], #[[2]], 0}, "WGS84"] & /@ {x, y});

E uno dei comandi di stampa:

With[{mu = 45}, ContourPlot[(sphere[{mu, 0}, {x, y}] - WGS84[{mu, 0}, {x, y}]) / 1000, 
                   {y, 0, 180}, {x, -90, 90}, ContourLabels -> True]]

Ho esplorato questa domanda di recente. Penso che la gente voglia sapere

1. quale raggio sferico dovrei usare?
2. qual è l'errore risultante?

Una metrica ragionevole per la qualità dell'approssimazione è l'errore relativo assoluto massimo nella distanza del grande cerchio

err = |s_sphere - s_ellipsoid| / s_ellipsoid

con il massimo valutato su tutte le possibili coppie di punti.

Se l'appiattimento f è piccolo, il raggio sferico che minimizza l'errore è molto vicino a (a + b) / 2 e l'errore risultante è circa

err = 3*f/2 = 0.5% (for WGS84)

(valutato con 10 ^ 6 coppie di punti scelti casualmente). Talvolta si suggerisce di usare (2 * a + b) / 3 come raggio sferico. Ciò provoca un errore leggermente più grande, err = 5 * f / 3 = 0,56% (per WGS84).

La geodetica la cui lunghezza è maggiormente sottostimata dall'approssimazione sferica si trova vicino a un polo, ad esempio da (89,1,0) a (89,1,180). I geodetici la cui lunghezza è maggiormente sovrastimata dall'approssimazione sferica sono meridionali vicino all'equatore, ad esempio da (-0,1,0) a (0,1,0).

ADDENDUM : ecco un altro modo di affrontare questo problema.

Seleziona coppie di punti distribuiti uniformemente sull'ellissoide. Misurare la distanza ellissoidale s e la distanza su un'unità di sfera di t . Per ogni coppia di punti, s / t fornisce un raggio sferico equivalente. Media questa quantità su tutte le coppie di punti e questo fornisce un raggio sferico equivalente medio. C'è una domanda su come dovrebbe essere fatta la media. Comunque tutte le scelte che ho provato

1. <s>/<t>
2. <s/t>
3. sqrt(<s^2>/<t^2>)
4. <s^2>/<s*t>
5. <s^2/t>/<s>

tutto è emerso entro pochi metri dal raggio medio raccomandato IUGG, R ₁ = (2 a + b ) / 3. Pertanto, questo valore riduce al minimo l'errore RMS nei calcoli della distanza sferica. (Tuttavia, si ottiene un errore relativo massimo leggermente più grande rispetto a ( a + b ) / 2; vedere sopra.) Dato che è probabile che R ₁ venga utilizzato per altri scopi (calcoli di area e simili), esiste una buona ragione per attenersi a questa scelta per i calcoli della distanza.

La linea di fondo :

• Per qualsiasi tipo di lavoro sistematico, in cui è possibile tollerare un errore dell'1% nei calcoli della distanza, utilizzare una sfera di raggio R ₁ . L'errore relativo massimo è 0,56%. Usa questo valore in modo coerente quando ti avvicini alla terra con una sfera.
• Hai bisogno di maggiore precisione, risolvi il problema geodetico ellissoidale.
• Per i calcoli del retro della busta, utilizzare R ₁ o 6400 km o 20000 / pi km o a . Ciò provoca un errore relativo massimo di circa l'1%.

UN ALTRO ADDENDUM : puoi spremere un po 'più di precisione dalla grande distanza del cerchio usando μ = tan ⁻¹ ((1 - f ) ^3/2 tanφ) (latitudine rettificante di un uomo povero) come latitudine nel calcolo del grande cerchio. Ciò riduce l'errore relativo massimo dallo 0,56% allo 0,11% (utilizzando R ₁ come raggio della sfera). (Non è chiaro se vale davvero la pena adottare questo approccio invece di calcolare direttamente la distanza geodetica ellissoidale.)