Uno dei miei colleghi sta lavorando con dati distribuiti su due zone UTM. La maggior parte dei dati si trova in una zona, con alcuni valori anomali in un'altra zona. Vorrebbe sapere quale sarebbe la distorsione dell'area di quei valori anomali se si trovassero nella zona UTM principale.
Esiste una formula per calcolare la distorsione areale sapendo quanto erano lontane nell'altra zona UTM le caratteristiche?
Risposte:
UTM utilizza una proiezione di Mercatore trasversale con un fattore di scala di 0,9996 nel meridiano centrale. Nel Mercatore, il fattore di scala della distanza è la secante della latitudine (una fonte: http://en.wikipedia.org/wiki/Mercator_projection ), da cui il fattore di scala dell'area è il quadrato di questo fattore di scala (perché si applica in tutte le direzioni, essendo il Mercatore conforme). Comprendendo la latitudine come distanza sferica dall'equatore e avvicinando l'ellissoide con una sfera, possiamo applicare questa formula a qualsiasi aspetto della proiezione di Mercatore. Così:
Il fattore di scala è 0.9996 volte la secante della distanza (angolare) dal meridiano centrale. Il fattore di scala dell'area è il quadrato di questa quantità.
Per trovare questa distanza, considera il triangolo sferico formato viaggiando lungo un geodetico da un punto arbitrario a (lon, lat) = (lambda, phi) dritto verso il meridiano centrale a longitudine mu, lungo quel meridiano fino al polo più vicino, e poi di nuovo lungo il meridiano lambda fino al punto originale. Il primo giro è un angolo retto e il secondo è un angolo di lambda-mu. La quantità percorsa lungo l'ultima porzione è di 90 gradi phi. La Legge sferica dei seni applicata a questo triangolo afferma
sin (lambda-mu) / sin (distanza) = sin (90 gradi) / sin (90-phi)
con soluzione
distanza = ArcSin (sin (lambda-mu) * cos (phi)).
Questa distanza è data come un angolo, che è conveniente per calcolare la secante.
Esempio
Considera la zona UTM 17, con meridiano centrale a -183 + 17 * 6 = -81 gradi. Lascia che la posizione periferica sia a longitudine -90 gradi, latitudine 50 gradi. Poi
Step 1: La distanza sferica da (-90, 50) al meridiano di -81 gradi è uguale a ArcSin (sin (9 gradi) * cos (50 gradi)) = 0.1007244 radianti.
Passaggio 2: la distorsione dell'area è uguale a (0.9996 * sec (0,1007244 radianti)) ^ 2 = 1.009406.
(I calcoli numerici con l'ellissoide GRS 80 danno il valore di 1.009435, dimostrando che la risposta che abbiamo calcolato è troppo bassa dello 0,3%: è lo stesso ordine di grandezza dell'appiattimento dell'ellissoide, indicando che l'errore è dovuto all'approssimazione sferica.)
approssimazioni
Per avere un'idea di come l'area cambia, possiamo usare alcune identità di triglicer per semplificare l'espressione generale ed espanderla come una serie di Taylor in lambda-mu (lo spostamento tra la longitudine del punto e la longitudine del meridiano centrale UTM). Funziona a
Fattore di scala dell'area ~ 0.9992 * (1 + cos (phi) ^ 2 * (lambda-mu) ^ 2).
Come per tutte queste espansioni, l'angolo lambda-mu deve essere misurato in radianti. L'errore è inferiore a 0,9992 * cos (phi) ^ 4 * (lambda-mu) ^ 4, che è vicino al quadrato della differenza tra l'approssimazione e 1 - cioè il quadrato del valore dopo il punto decimale .
Nell'esempio con phi = 50 gradi (con un coseno di 0.642788) e lambda-mu = -9 gradi = -0.15708 radianti, l'approssimazione dà 0.9992 * (1 + 0.642788 ^ 2 * (-0.15708) ^ 2) = 1.009387. Guardando oltre il punto decimale e la quadratura, deduciamo (anche senza conoscere il valore corretto) che il suo errore non può essere maggiore di (0,009387) ^ 2 = inferiore a 0,0001 (e in realtà l'errore è solo un quinto di quella dimensione).
Da questa analisi è evidente che alle alte latitudini (dove cos (phi) è piccolo), gli errori di scala saranno sempre piccoli; e alle latitudini più basse, gli errori di scala dell'area si comporteranno come il quadrato della differenza nelle longitudini.
GeoConvert, lo strumento di GeographicLib
http://geographiclib.sf.net/html/GeoConvert.1.html
consente una generosa sovrapposizione tra zone UTM (in particolare, la conversione in una zona vicina è consentita a condizione che la risultante est sia compresa nell'intervallo [0km, 1000km]). GeoConvert può anche riportare la convergenza e la scala dei meridiani e, come osserva whuber, la distorsione dell'area è il quadrato della scala.
Ad esempio, la tua zona "principale" è 42 e ti viene dato un punto
41N 755778 3503488
(Università di Kandahar) che si trova circa 29 km a ovest della zona 42. Per convertirlo nella zona 42, utilizzare
echo 41N 755778 3503488 | GeoConvert -u -z 42 ==> 42N 186710 3505069
Per determinare la convergenza e la scala dei meridiani nella zona 42, aggiungere il flag -c
echo 41N 755778 3503488 | GeoConvert -u -z 42 -c ==> -1.73405 1.0008107
Quindi la distorsione dell'area è 1.0008107 ^ 2 = 1.0016221.