Questo è il risultato della mappatura del percorso in linea retta da un punto negli Stati Uniti alla Polonia utilizzando lo strumento di misurazione della distanza .
Inoltre, gli aerei dall'Asia agli Stati Uniti viaggerebbero quasi sul Polo Nord.
Perché il percorso è così curvo? Concordo sul fatto che si tratta di una rappresentazione piatta di una sfera, quindi mi aspetto un arco, ma non credo che la Terra abbia questa curvatura.
Cosa mi sto perdendo qui?
Risposte:
Guarda il percorso sulla sfera. Eccolo in Google Earth:
Il percorso sulla tua mappa è fortemente curvo perché la tua mappa usa una proiezione con molta distorsione. (La distorsione cresce senza limiti verso i poli e questo percorso si sta avvicinando al polo nord.)
La distorsione è necessaria per spiegare la curvatura di questo geodetico sulla mappa, ma la connessione tra loro è sottile. Si può dire di più che sia utile, informativo ed elegante allo stesso tempo. Vedi se sei d'accordo.
La mappa del PO utilizza una proiezione di Mercatore. Le sue qualità salienti sono che lo è
Cilindrico : in particolare, i meridiani sono linee verticali sulla mappa,
Conforme : qualsiasi angolo in corrispondenza del quale due percorsi si incrociano sulla terra saranno resi correttamente sulla mappa, e
Loxodromico : qualsiasi percorso di rilevamento costante (sulla terra) viene reso come un segmento di linea retta sulla mappa.
Queste proprietà facilitano la lettura di alcune informazioni critiche direttamente dalla mappa. In questo contesto sono molto interessato agli angoli fatti da qualsiasi percorso con ciascuno dei meridiani che attraversa. (Questi sono i cuscinetti misurati da nord.) Ad esempio, il percorso rappresentato nella domanda inizia in Canada, a circa 54 gradi di latitudine, formando un angolo di circa 30 gradi con il suo meridiano.
Ciò che dobbiamo anche sapere di un punto a 54 gradi di latitudine è che è più vicino all'asse terrestre rispetto ai punti lungo l'equatore. In realtà, è cos (54) * R dall'asse, dove R è il raggio terrestre. (Questa è essenzialmente la definizione del coseno. Aiuta ad avere una certa familiarità con i coseni, quindi capisci come si comportano, ma non hai davvero bisogno di conoscere qualsiasi altra trigonometria. Lo prometto. Bene, un'altra cosa: il seno di un angolo è il coseno del suo complemento, ad esempio sin (32 gradi) = cos (90-32) = cos (58).)
Infine, nota che la terra è simmetrica in senso rotazionale attorno al suo asse. Questo ci permette di invocare la bellezza di Clairaut
Teorema (1743): Su un percorso in qualsiasi superficie liscia di rivoluzione, il prodotto della distanza dall'asse con il seno del cuscinetto è costante se e solo se il percorso è localmente geodetico.
Pertanto, poiché stiamo iniziando a latitudine 54 gradi con un angolo di 30 gradi, il prodotto nel teorema è uguale a cos (54) * R * sin (30) = 0.294 * R.
In che modo aiuta? Bene, considera cosa accadrebbe se il percorso continuasse approssimativamente dritto sulla mappa . Prima o poi avrebbe raggiunto una latitudine di 73 gradi. Usando il teorema di Clairaut possiamo risolvere per il rilevamento a questa latitudine:
cos(73) * R * sin(bearing) = 0.294 * R;
sin(bearing) = 0.294 / cos(73) = 1;
bearing = 90 degrees.Questo dice che quando raggiungiamo una latitudine di 73 gradi, dobbiamo viaggiare verso est ! Cioè, il percorso, per essere geodetico, deve curvare così fortemente che il rilevamento iniziale di 30 gradi (est del nord) diventa 90 gradi (est del nord).
(Naturalmente ho trovato il valore di 73 gradi risolvendo l'equazione cos (latitudine) = cos (latitudine) * sin (90) = cos (54) * sin (60). Per fare questo da soli dovresti sapere che (a ) sin (90) = 1 (perché sin (90) = cos (90-90) = cos (0) = 1) e (b) la maggior parte dei calcolatori e dei fogli di calcolo hanno una funzione per risolvere i coseni; si chiama ArcCos o coseno inverso. Spero che tu non veda questo piccolo dettaglio come infrangere la mia precedente promessa di non più trig ...)
Dopo aver fatto alcuni calcoli come questo, sviluppi un'intuizione per ciò che dice il Teorema di Clairaut. Un percorso in una superficie di rivoluzione (come la terra) può essere geodetico (localmente il più breve o "dritto") solo quando (a) il suo rilevamento diventa più parallelo ai meridiani in punti lontani dall'asse e (b) il suo rilevamento diventa più perpendicolare ai meridiani nei punti più vicini all'asse. Perché c'è un limite su come si può arrivare perpendicolarmente - 90 gradi è! - c'è un limite a quanto vicino si può arrivare all'asse. Questa costante regolazione di rilevamento (= angolo rispetto al meridiano) e latitudine (= distanza dall'asse) provoca l'apparente curvatura della geodetica sulla maggior parte delle mappe, in particolare su quelli che usano proiezioni cilindriche, in cui i meridiani e le linee di latitudine sono resi rispettivamente come linee verticali e orizzontali.
Ecco alcune facili implicazioni del teorema di Clairaut. Vedi se riesci a provarli tutti:
L'equatore deve essere un geodetico.
Tutti i meridiani sono geodetici.
Nessuna linea di latitudine, oltre all'equatore (e ai poli, se si desidera includerli), può essere una geodetica. Neanche una piccola parte di una linea di latitudine può essere geodetica.
I loxodromi (noti anche come rombi), che sono linee di portamento costante, non possono essere geodetici a meno che non siano meridiani o equatori. Neanche una piccola parte di un simile loxodromo può essere geodetica. In altre parole, se navighi o voli in una direzione della bussola fissa, allora - con alcune ovvie eccezioni - il tuo percorso è in costante curva!
Il punto 4 dice che se voli dalle Montagne Rocciose canadesi ad un rilevamento iniziale di 30 gradi ad est del nord, devi apparire, rispetto al nord, per girare costantemente (a destra) per volare dritto; non andrai mai a nord di 73 gradi di latitudine; e se continui abbastanza lontano, lo raggiungerai in Polonia e ti dirigerai a circa 150 gradi ad est del nord quando arriverai lì. Naturalmente i dettagli - 73 gradi e Polonia e 150 gradi - sono ottenuti solo dalla dichiarazione quantitativa del Teorema di Clairaut: di solito non puoi capire quel genere di cose solo usando la tua idea intuitiva di geodetica.
È interessante notare che tutti questi risultati si trovano su uno sferoide generale (una superficie di rivoluzione generata da un'ellisse), non solo su sfere perfette. Con lievi modifiche valgono per tori (superfici di bagel o pneumatici di camion) e molte altre superfici interessanti. (L'autore di fantascienza Larry Niven ha scritto un romanzo in cui è descritto un piccolo mondo artificiale a forma di toro. Il collegamento include un'immagine dalla copertina del romanzo che rappresenta parte di questo mondo.)
In questa proiezione (Google Mercator), ecco come appare il grande arco circolare tra quei due luoghi.
Solo una rapida aggiunta:
Inoltre, gli aerei dall'Asia agli Stati Uniti viaggerebbero quasi sul Polo Nord.
In quella direzione, useranno spesso il jet stream. Nella direzione opposta voleranno davvero sopra / vicino ai poli.
La proiezione di Mercatore distorce ai poli http://en.wikipedia.org/wiki/Mercator_projection
maggiori informazioni Tissot's Indicatrix
Quindi la pendenza è più acuta negli ultimi poli
Ho visto una spiegazione molto elegante di questo fenomeno sul blog di Tom MacWright qui , con foto di arance. La versione spiegata a un bambino di 5 anni: "Su un globo, i percorsi più brevi sono piatti e le linee di navigazione sono curve. Mercator ha creato una mappa in cui le linee di navigazione sono dritte. Ciò ha reso i percorsi più corti curve".
È dovuto alla proiezione di un piano 2D su una superficie polorizzata di 2 sfere, quando la linea si sposta oltre i poli, si distorce per quanto riguarda gli osservatori del piano 2D perché la linea retta verso la destinazione sembra essere curva arca di un Grande Cerchio, che è un termine in matematica che si riferisce al più grande cerchio che può essere tagliato da una sfera, purché il cerchio passi attraverso il centro della sfera. Ho leggermente modificato le immagini fornite in altre risposte scribacchiando una linea attraverso per illustrare (piuttosto male ho paura, sono nuovo di GIMP) La cosiddetta distorsione polare. Penso che alcuni concetti simili siano alla base delle forze gravitazionali, ma non sono un fisico, quindi non potrei dirlo.
Più si avvicina ai poli un punto, meno deformato sembra essere reso su una superficie 2D piatta, sebbene sia ancora di una piccola quantità. Dipende anche dal metodo di proiezione utilizzato e alcuni sono focalizzati sul rendere il percorso più veloce tra due punti appiattito e quindi arrotondare indietro sulla vista sferica completa.