Valutazione dell'errore del calcolo eseguita utilizzando dati non proiettati rispetto a quelli proiettati

Questa domanda si basa su quella con l'oggetto "Calcolo della direzione del flusso e delineare i bacini dai dati proiettati rispetto a quelli non proiettati": Calcolo della direzione del flusso e delineandendo i bacini dai dati DEM proiettati contro non proiettati

Questa è una domanda completamente separata, tuttavia, poiché la domanda sopra menzionata ha stabilito che ci sono problemi con l'uso di algoritmi (ad esempio, ArcGIS Flow Direction) che assumono la distanza euclidea sui dati in un sistema di coordinate geografiche sferiche / non proposte.

Sappiamo che le proiezioni della mappa sono un po 'come prendere una buccia d'arancia e tentare di appiattirla su una scrivania - si avrà un errore intrinsecamente introdotto dalla proiezione della mappa. Sembra però che i vantaggi della proiezione compensino qualsiasi errore introdotto, in particolare quando si eseguono calcoli che assumono una superficie planare cartesiana / proiettata. In questo caso, l'algoritmo che mi interessa è l'algoritmo ArcGIS Flow Direction che presume che i tuoi dati siano proiettati (e questo è il presupposto preso dalla maggior parte delle applicazioni basate sulla mia ricerca) in quanto utilizza un approccio euclideo per il calcolo della distanza.

La mia domanda è : come si può quantificare l'errore che potrebbe essere introdotto nel calcolo della direzione del flusso in una data area di studio usando dati DEM non proiettati (dati DEM in un sistema di coordinate geografiche) rispetto a dati proiettati (dati DEM in una proiezione appropriata come un UTM o qualcosa di conforme)?

Concesso, è possibile derivare un raster di direzione del flusso utilizzando non proiettati e quindi gli stessi dati DEM proiettati. Ma allora? Poiché il nostro obiettivo è quello di modellare la superficie terrestre nel modo più accurato possibile (e non stiamo affrontando eventuali errori che potrebbero essere introdotti nel processo di creazione del DEM originale ecc., Quelli sono una costante per quanto mi riguarda) .... supponiamo solo che i dati sulla direzione del flusso derivati ​​dal DEM proiettato siano migliori, e quindi confrontiamo i valori delle singole celle dei due raster per identificare quali celle hanno valori direzionali diversi (nel contesto del normale modello D-8 )? Immagino di fare questo, quindi dovresti prendere il raster di direzione del flusso derivato da dati non proiettati e quindi applicare la stessa proiezione utilizzata con il raster di direzione del flusso proiettato.

Cosa avrebbe più senso e a cosa dovrebbe essere confrontato il DEM non proiettato come parametro di precisione?

Entrare nei dettagli nitidi delle equazioni matematiche potrebbe, per quelli che lo capiscono, darti una prova a livello del suolo ed essere sufficiente per alcuni, ma anche qualcosa che potrebbe trasmettere l'errore a qualcuno che non ha un una conoscenza approfondita della matematica, ma potrebbe solo conoscere abbastanza geografia / GIS per essere pericoloso sarebbe (idealmente entrambi i livelli sarebbero buoni che risuonerebbero con i fanatici della geografia hardcore e il dilettante GIS medio). Per la gente di livello superiore, dire che la prova è in matematica probabilmente la lascia in qualche modo aperta alla discussione - Sto cercando qualcosa di più tangibile (ad esempio, simile ad attaccare una cifra in dollari a una sorta di inefficienza nel governo).

Qualsiasi pensiero o idea su come si possa quantificare questo sarebbe molto apprezzato.

Tom

L'analisi è già stata fatta in una risposta alla domanda precedente , ma forse un'illustrazione aiuterà.

Esistono due componenti principali dell'errore: l'algoritmo "d8", che rappresenta i flussi in sole otto direzioni cardinali e l'effetto della proiezione (o mancanza di esso). Concentriamoci su quest'ultimo, perché questa sembra essere la principale preoccupazione.

L'errore dipende dalle distorsioni nella proiezione e dal terreno stesso. A livello locale, su una piccola regione, tutte le distorsioni di proiezione sulla superficie terrestre ammontano a un allungamento in una direzione rispetto a una direzione perpendicolare: ecco perché un indicatore Tissot (correttamente calcolato) è un'ellisse perfetta, perché un'ellisse è solo un cerchio allungato. Il terreno può avere qualsiasi aspetto (direzione del flusso). Per gestire questo, diamo un'occhiata a un terreno che in effetti ha punti in tutte le direzioni possibili con semplici linee di flusso: un cono .

Sovrapposto in questa mappa di contorno sfumata di colore dell'elevazione del cono è presente una raccolta di linee di flusso che mostrano le direzioni in cui scorre l'acqua. Puoi confermare che queste linee di flusso sono corrette controllando che attraversino i contorni ad angolo retto.

Scegliendo le unità di misura appropriate e un'origine appropriata per il sistema di coordinate (all'apice del cono), l'equazione per l'elevazione in termini di coordinate (x, y) è semplicemente

z = -Sqrt (x ^ 2 + y ^ 2).

Le linee di flusso sono sempre parallele al gradiente di z (in senso inverso), calcolata differenziando questa formula rispetto alla x ed y :

-Grad (z) = (x, y) / Sqrt (x ^ 2 + y ^ 2).

Il coefficiente 1 / Sqrt (x ^ 2 + y ^ 2) non cambia la direzione, quindi possiamo ignorarlo ai fini della comprensione delle linee di flusso. Pertanto, in qualsiasi posizione (x, y), la linea di flusso punta nella direzione (x, y).

L'effetto di un allungamento orizzontale nelle coordinate (di un fattore 2 in questa immagine) è di allungare tutti i contorni (senza modificare i livelli del contorno: le altezze non sono influenzate dalle proiezioni). Sebbene (ovviamente) i contorni rappresentino dei veri cerchi, non sembrano più veri cerchi sulla mappa. Tuttavia, quando le linee di flusso sono calcolate in queste coordinate, devono attraversare i contorni ad angolo retto proprio come prima.

L'effetto dell'allungamento è di posizionare l'elevazione in qualsiasi punto delle coordinate (x, y) a nuove coordinate (allungamento x, y). Consideralo al contrario: l'elevazione alle coordinate (X, Y) = (allungamento x, y) deve essere il valore di z calcolato in (x, y) = (X / allungamento, Y). Pertanto l'equazione della superficie apparente in questa proiezione è

z = -Sqrt ((x / stretch) ^ 2 + y ^ 2).

Differenziando, calcoliamo

-Grad (z) = (x / stretch ^ 2, y) / Sqrt ((x / stretch) ^ 2 + y ^ 2).

Ancora una volta il fattore comune non importa; quindi, in qualsiasi posizione (x, y), la linea di flusso calcolata punta nella direzione (x / tratto ^ 2, y) . Questa era la formula utilizzata per disegnare le linee di flusso nell'immagine precedente. Puoi vedere che attraversano correttamente i contorni ad angolo retto.

Questa terza immagine ripropone l'immagine precedente. La superficie viene mostrata ancora una volta senza distorsione. Tuttavia, le linee di flusso non sembrano più incrociare i contorni ad angolo retto. Questo era il caso anche nella figura precedente: a causa della distorsione in essa contenuta, gli angoli sembravano solo angoli retti. Gli incroci erano sempre errati. Ecco perché non proiettare (o usare una proiezione non convenzionale) è un errore. La domanda è: quanto grande potrebbe essere un errore. Alcuni hanno affermato che ha poche conseguenze (almeno a latitudini basse o moderate).

Questa riproiezione (per rimuovere la distorsione nella mappa) sposta il punto su (x * allunga, y) di nuovo su (x, y). La direzione del flusso precedentemente calcolata a questo punto era memorizzata in una griglia (come un angolo o un codice di direzione): non cambia. Pertanto la direzione del flusso calcolata su (x, y) è (x / stretch ^ 2, y).

Ciò quantifica l'effetto di una riproiezione su tutte le possibili direzioni di flusso, come mostrato dalla differenza tra il primo e l'ultimo grafico. Ecco il loro overlay, senza la trama del contorno per la distrazione:

La riproiezione influenza le direzioni in modo diverso a seconda di come è orientato il flusso rispetto all'asse maggiore dell'indicatore Tissot. È una funzione quadratica della relativa distorsione lineare nella proiezione. Come tale, esagera anche lievi quantità di distorsione. (Il fattore due illustrato qui è in qualche modo estremo ma realistico: è la distorsione introdotta dal mancato proiettamento , ovvero dall'uso delle coordinate geografiche come coordinate della mappa) a latitudini di 60 gradi.)

Con un po 'di trigonometria si possono usare questi risultati per calcolare l'errore angolare nella direzione del flusso in funzione della direzione corretta. Ecco un grafico degli errori associati all'utilizzo di un sistema di coordinate geografiche (non proiettato) alle latitudini 20, 30, 40, 50 e 60 gradi. (Naturalmente gli errori più grandi sono associati a latitudini più elevate.)

La "vera direzione" è in gradi est del nord. Differenze angolari positive si verificano quando la direzione apparente (calcolata senza proiettare lat, lon) è in senso antiorario rispetto alla direzione reale.

Ricorda, devi sovrapporre gli errori d8 su questi!