C'è qualche affermazione generale su quali tipi di problemi possono essere risolti in modo più efficiente utilizzando un computer quantistico?

Esiste una dichiarazione generale su quali tipi di problemi possono essere risolti in modo più efficiente utilizzando i computer quantistici (solo modello Quantum Gate)? I problemi per i quali oggi è noto un algoritmo hanno una proprietà comune?

Per quanto ho capito, l'informatica quantistica aiuta con il problema dei sottogruppi nascosti (Shor); L'algoritmo di Grover aiuta a velocizzare i problemi di ricerca. Ho letto che gli algoritmi quantistici possono accelerare se cerchi una "proprietà globale" di una funzione (Grover / Deutsch).

1. Esiste un'affermazione più concisa e corretta su dove il calcolo quantistico può aiutare?
2. È possibile dare una spiegazione del perché la fisica quantistica può esservi d'aiuto (preferibilmente qualcosa di più profondo che "l'interferenza può essere sfruttata")? E perché forse non sarà d'aiuto per altri problemi (ad es. Per problemi NP-completi)?

Ci sono documenti pertinenti che discutono proprio questo?

Avevo già posto questa domanda su cstheory.stackexchange.com ma qui potrebbe essere più adatto.

Sull'utilità computazionale in generale

Senza forse accorgertene, stai ponendo una versione di una delle domande più difficili che potresti eventualmente porre sull'informatica teorica. Puoi fare la stessa domanda sui computer classici, solo invece di chiedere se aggiungere 'quantumness' sia utile, puoi chiedere:

• Esiste una dichiarazione concisa su dove gli algoritmi randomizzati possono aiutare?

  È possibile dire qualcosa di molto vago qui - se pensi che le soluzioni siano abbondanti (o che il numero di soluzioni a qualche sotto-problema sia abbondante) ma che potrebbe essere difficile costruirne una sistematicamente, allora è utile poter fare scelte a caso per superare il problema della costruzione sistematica. Ma attenzione, a volte il motivo per cui sai che esistono molte soluzioni a un sotto-problema è perché esiste una prova usando il metodo probabilistico . In questo caso, sai che il numero di soluzioni è abbondante riducendo a quello che è in effetti un utile algoritmo randomizzato!

  A meno che tu non abbia un altro modo di giustificare il fatto che il numero di soluzioni è abbondante per quei casi, non esiste una semplice descrizione di quando un algoritmo randomizzato può aiutare. E se hai richieste abbastanza elevate di "disponibilità" (un vantaggio super polinomiale), allora quello che stai chiedendo è se , che è un problema irrisolto nella teoria della complessità. $\mathsf P \ne \mathsf{BPP}$
  
  

• Esiste una dichiarazione concisa su dove gli algoritmi parallelizzati possono aiutare?

  Qui le cose potrebbero essere leggermente migliori. Se un problema sembra che possa essere suddiviso in molti sotto-problemi indipendenti, allora può essere parallelizzato - anche se questo è un vago "lo saprai quando lo vedi" una sorta di criterio. La domanda principale è: lo saprai quando lo vedi? Avresti indovinato che testare la fattibilità di sistemi di equazioni lineari sui razionali non è solo parallelizzabile, ma potrebbe essere risolto usando i circuiti di profondità [cf  Comput. Complesso. 8 (pagg. 99-126), 1999 ]?$O(\log^2 n)$

  Un modo in cui le persone cercano di dipingere un'intuizione a tutto tondo per questo è quello di affrontare la domanda dalla direzione opposta e dire quando è noto che un algoritmo parallelizzato non aiuterà. In particolare, non sarà d'aiuto se il problema ha un aspetto intrinsecamente sequenziale. Ma questo è circolare, perché "sequenziale" significa solo che la struttura che puoi vedere per il problema è una struttura non parallela.

  Ancora una volta, non esiste una descrizione semplice e completa di quando un algoritmo parallelizzato può aiutare. E se hai richieste abbastanza elevate di "utilità" (un limite poliarlogaritmico legato alla quantità di tempo, assumendo una parallelizzazione polinomiale), allora quello che stai chiedendo è se $\mathsf P \ne \mathsf{NC}$ , che è di nuovo un problema irrisolto nella teoria della complessità .
  
  

Le prospettive per "descrizioni concise e corrette di quando [X] è utile" non sembrano troppo grandi a questo punto. Anche se potresti protestare che qui siamo troppo severi: sulla base di chiedere più di un vantaggio polinomiale, non potremmo nemmeno affermare che le macchine di Turing non deterministiche fossero "utili" (il che è chiaramente assurdo). Non dovremmo pretendere un livello così elevato: in assenza di tecniche per risolvere in modo efficiente la soddisfacibilità, dovremmo almeno accettare che se in qualche modo potessimo ottenere una macchina di Turing non deterministica, la troveremmo davvero molto utile . Ma questo è diverso dalla capacità di caratterizzare con precisione per quali problemi lo troveremmo utile.

Sulla disponibilità di computer quantistici

Facendo un passo indietro, c'è qualcosa che possiamo dire su dove i computer quantistici sono utili?

Possiamo dire questo: un computer quantistico può fare qualcosa di interessante solo se sta sfruttando la struttura di un problema, che non è disponibile per un computer classico. (Ciò è accennato dalle osservazioni su una "proprietà globale" di un problema, come accennato). Ma possiamo dire di più: i problemi risolti dai computer quantistici nel modello di circuito unitario creeranno un'istanza di alcune caratteristiche di quel problema come operatori unitari . Le caratteristiche del problema che non sono disponibili per i computer classici saranno tutte quelle che non hanno una relazione statisticamente significativa (dimostrabile) con la base standard.

• Nel caso dell'algoritmo di Shor, questa proprietà sono gli autovalori di un operatore di permutazione definito in termini di moltiplicazione su un anello.
• $\pm 1$

Non è particolarmente sorprendente vedere che in entrambi i casi le informazioni si riferiscono agli autovalori e agli autovettori. Questo è un eccellente esempio di proprietà di un operatore che non ha bisogno di avere una relazione significativa con la base standard. Ma non vi è alcun motivo particolare per cui le informazioni debbano essere un autovalore. Tutto ciò che serve è essere in grado di descrivere un operatore unitario, codificando alcune caratteristiche rilevanti del problema che non è evidente dall'ispezione della base standard, ma è accessibile in qualche altro modo facilmente descrivibile.

Alla fine, tutto ciò dice che un computer quantistico è utile quando è possibile trovare un algoritmo quantistico per risolvere un problema. Ma almeno è un ampio schema di una strategia per la ricerca di algoritmi quantistici, che non è peggio delle linee generali di strategie che ho descritto sopra per algoritmi randomizzati o parallelizzati.

Note su quando un computer quantistico è "utile"

Come altre persone hanno notato qui, "dove l'informatica quantistica può aiutare" dipende da cosa intendi per "aiuto".

• L'algoritmo di Shor viene spesso tracciato in tali discussioni e di tanto in tanto le persone sottolineano che non sappiamo che la fattorizzazione non è risolvibile nel tempo polinomiale. Quindi sappiamo davvero che "il calcolo quantico sarebbe utile per la fattorizzazione dei numeri"?

  A parte la difficoltà di realizzare computer quantistici, penso che la risposta ragionevole sia "sì"; non perché sappiamo che non puoi fattorizzare in modo efficiente usando i computer convenzionali, ma perché non sappiamo come lo faresti usando i computer convenzionali. Se i computer quantistici ti aiutano a fare qualcosa che non hai un approccio migliore da fare, mi sembra che questo sia "d'aiuto".

• $O(2^{0.386\,n})$

  Forse l'algoritmo di Grover in quanto tale non è particolarmente utile. Tuttavia, può essere utile se lo usi per elaborare strategie classiche più intelligenti oltre la ricerca della forza bruta: utilizzando l' amplificazione dell'ampiezza , la generalizzazione naturale dell'algoritmo di Grover a impostazioni più generali, possiamo migliorare le prestazioni di molti algoritmi non banali per SAT (vedi ad esempio [ACM SIGACT News  36 (pagg. 103--108), 2005 - collegamento PDF gratuito ]; cappello a Martin Schwarz che mi ha indicato questo riferimento nei commenti).

  Come con l'algoritmo di Grover, l'amplificazione dell'ampiezza produce solo accelerazioni polinomiali: ma parlando praticamente, anche una velocizzazione polinomiale può essere interessante se non viene slavata dall'overhead associato alla protezione delle informazioni quantistiche dal rumore.

TL; DR: No, non abbiamo alcuna precisa affermazione "generale" su quale tipo di problemi i computer quantistici possano risolvere , in termini di teoria della complessità. Tuttavia, abbiamo un'idea approssimativa.

Secondo il sotto-articolo di Wikipedia sulla relazione con la teoria della complessità computazionale

La classe di problemi che possono essere risolti in modo efficiente dai computer quantistici è chiamata BQP , per "errore limitato, tempo quantico e polinomiale". I computer quantistici eseguono solo algoritmi probabilistici , quindi BQP su computer quantistici è la controparte di BPP ("errore limitato, tempo probabilistico, polinomiale") su computer classici. È definito come l'insieme di problemi risolvibili con un algoritmo a tempo polinomiale, la cui probabilità di errore è limitata dalla metà . Si dice che un computer quantistico "risolva" un problema se, per ogni caso, la sua risposta sarà corretta con alta probabilità. Se quella soluzione viene eseguita in tempo polinomiale, il problema è in BQP.

BQP è contenuto nella classe di complessità #P (o più precisamente nella classe associata di problemi di decisione P ^#P ), che è una sottoclasse di PSPACE .

Si sospetta che BQP sia disgiunto da NP-complete e un superset rigoroso di P, ma ciò non è noto. Sia la fattorizzazione in numeri interi che il log discreto sono in BQP. Entrambi questi problemi sono sospetti di NP al di fuori di BPP, e quindi al di fuori di P. Entrambi sono sospettati di non essere NP-completi. C'è un malinteso comune sul fatto che i computer quantistici possano risolvere i problemi NP-completi in tempi polinomiali. Ciò non è noto per essere vero ed è generalmente sospettato di essere falso.

La capacità di un computer quantistico di accelerare gli algoritmi classici ha limiti rigidi: limiti superiori della complessità del calcolo quantistico. La parte schiacciante dei calcoli classici non può essere accelerata su un computer quantistico. Un fatto simile si verifica per particolari compiti computazionali, come il problema di ricerca, per il quale l'algoritmo di Grover è ottimale.

${\displaystyle O({\sqrt[{3}]{N}})}$$\displaystyle O({\sqrt {N}})$

Sebbene i computer quantistici possano essere più veloci dei computer classici per alcuni tipi di problemi, quelli sopra descritti non possono risolvere alcun problema che i computer classici non sono già in grado di risolvere. Una macchina di Turing può simulare questi computer quantistici, quindi un tale computer quantistico non potrebbe mai risolvere un problema indecidibile come il problema dell'arresto. L'esistenza di computer quantistici "standard" non confuta la tesi di Church-Turing. È stato ipotizzato che le teorie della gravità quantistica, come la teoria M o la gravità quantistica ad anello, possano consentire la costruzione di computer ancora più veloci. Attualmente, definire il calcolo in tali teorie è un problema aperto a causa del problema del tempo, cioè attualmente non esiste un modo ovvio per descrivere cosa significhi per un osservatore inviare input a un computer e successivamente ricevere output.

Per quanto riguarda il motivo per cui i computer quantistici possono risolvere efficacemente i problemi BQP:

1. $n$$2n$

2. Di solito, il calcolo su un computer quantistico termina con una misurazione. Ciò porta a un collasso dello stato quantico verso uno degli stati di base. Si può dire che lo stato quantico è misurato per essere nello stato corretto con alta probabilità.

È interessante notare che se in teoria permettiamo la post-selezione (che non ha alcuna implementazione pratica scalabile), otteniamo la classe di complessità post-BQP :

Nella teoria della complessità computazionale, PostBQP è una classe di complessità costituita da tutti i problemi computazionali risolvibili in tempi polinomiali su una macchina di Turing quantistica con post-selezione ed errore limitato (nel senso che l'algoritmo è corretto almeno i 2/3 del tempo su tutto ingressi). Tuttavia, Postselection non è considerata una caratteristica che avrebbe un computer realistico (anche quantico), ma tuttavia le macchine di postselection sono interessanti da una prospettiva teorica.

Vorrei aggiungere ciò che @Discrete lizard ha menzionato nella sezione commenti. Non hai definito esplicitamente cosa intendi per "può aiutare", tuttavia, la regola empirica nella teoria della complessità è che se un computer quantistico "può aiutare" in termini di risoluzione in tempo polinomiale (con un limite di errore) se la classe di il problema che può risolvere risiede in BQP ma non in P o BPP. Si sospetta che la relazione generale tra le classi di complessità discusse sopra sia:

$\text{P $\subseteq$ BPP $\subseteq$ BQP $\subseteq$ PSPACE}$

Tuttavia, P = PSPACE, è un problema aperto in Informatica . Inoltre, la relazione tra P e NP non è ancora nota.

Non esiste una simile dichiarazione generale ed è improbabile che ce ne sarà presto una. Spiegherò perché questo è il caso. Per una risposta parziale alla tua domanda, potrebbe essere utile esaminare i problemi nelle due classi di complessità BQP e PostBQP.

Le classi di complessità che si avvicinano ai problemi che possono essere risolti in modo efficiente dai computer quantistici del modello di gate quantistico sono

1. BQP ; e
2. PostBQP

BQP è costituito dai problemi che possono essere risolti in tempo polinomiale su un circuito quantico. I più importanti algoritmi quantistici, come l'algoritmo di Shor, risolvono problemi in BQP.

$=$

Tuttavia, al momento non ci sono metodi per implementare praticamente post-selezione, quindi PostBQP è più di interesse teorico.

La relazione tra P, NP e BQP è attualmente sconosciuta; e un problema aperto nell'ordine di P vs. NP. Come affermazione generale su quali tipi di problemi possono essere risolti in modo più efficiente utilizzando i computer quantistici, è necessario rispondere alla domanda BQP vs. P (se BQP = P, apparentemente i computer quantistici non sono più efficienti (almeno per i teorici della complessità))

Simile alla foto di Blue, questa mi piace di più da Quanta Magazine , dal momento che sembra riassumere visivamente ciò di cui stiamo parlando.