^{Questo è un sequel dell'algoritmo Quantum per i sistemi di equazioni lineari (HHL09): Step 1 - Confusione riguardo all'uso dell'algoritmo di stima di fase e l' algoritmo Quantum per i sistemi di equazioni lineari (HHL09): Step 1 - Numero di qubit necessari} .

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Nel documento: algoritmo quantistico per sistemi lineari di equazioni (Harrow, Hassidim & Lloyd, 2009) , cosa è scritto fino alla porzione

Il prossimo passo è decomporre nella base degli autovettori, usando la stima di fase [5-7]. Indica con gli autovettori di (o equivalentemente, di ) e con gli autovalori corrispondenti.$|b\rangle$$|u_j\rangle$$A$$e^{iAt}$$\lambda_j$

a pagina ha un senso per me (le confusioni fino a quando non sono state affrontate nei post precedenti collegati sopra). Tuttavia, la parte successiva, ovvero la rotazione sembra un po 'enigmatica.R ( λ - 1$2$$R(\lambda^{-1})$

Sia

$$|\Psi_0\rangle := \sqrt{\frac{2}{T}}\sum_{\tau =0}^{T-1} \sin \frac{\pi(\tau+\frac{1}{2})}{T}|\tau\rangle$$

per un po 'di grandi dimensioni . I coefficienti di sono scelti (seguendo [5-7]) per minimizzare una certa funzione di perdita quadratica che appare nella nostra analisi degli errori (vedi [13] per i dettagli).| Ψ 0$T$$|\Psi_0\rangle$

Successivamente, applichiamo l'evoluzione condizionale hamiltoniana su , dove . | Ψ 0 ⟩ C ⊗ | $\sum_{\tau = 0}^{T-1}|\tau\rangle \langle \tau|^{C}\otimes e^{iA\tau t_0/T}$t 0 = O ( κ / ε $|\Psi_0\rangle^{C}\otimes |b\rangle$$t_0 = \mathcal{O}(\kappa/\epsilon)$

Domande:

1. Che cos'è esattamente ? Cosa significano e ? Non ho idea di dove questa gigantesca espressione proviene improvvisamente e quale è il suo uso.T T si $|\Psi_0\rangle$$T$$\tau$

$$\sqrt{\frac{2}{T}}\sum_{\tau =0}^{T-1} \sin \frac{\pi(\tau+\frac{1}{2})}{T}|\tau\rangle$$

2. Dopo la fase di stima della fase, lo stato del nostro sistema è apparentemente :

$$\left(\sum_{j=1}^{j=N}\beta_j|u_j\rangle\otimes |\tilde\lambda_j\rangle\right)\otimes |0\rangle_{\text{ancilla}}$$

Questo sicuramente non può essere scritto come ie

$$\left(\sum_{j=1}^{j=N}\beta_j|u_j\rangle\right)\otimes \left(\sum_{j=1}^{j=N}|\tilde\lambda_j\rangle\right)\otimes |0\rangle_{\text{ancilla}}$$

$$|b\rangle\otimes \left(\sum_{j=1}^{j=N}|\tilde\lambda_j\rangle\right)\otimes |0\rangle_{\text{ancilla}}$$

Quindi, è chiaro che non è disponibile separatamente nel secondo registro. Quindi non ho idea di come stiano preparando uno stato come in primo luogo! Inoltre, cosa indica quella di ?| Ψ 0 ⟩ C ⊗ | b ⟩ C | Ψ 0 ⟩ $|b\rangle$$|\Psi_0\rangle^{C}\otimes |b\rangle$$C$$|\Psi_0\rangle^{C}$

3. Da dove compare questa espressione improvvisamente? A che serve simularlo? E che cos'è in ? κ O ( κ / ϵ $\sum_{\tau = 0}^{T-1}|\tau\rangle \langle \tau|^{C}\otimes e^{iA\tau t_0/T}$$\kappa$$\mathcal{O}(\kappa/\epsilon)$

1. Definizioni

Nomi e simboli utilizzati in questa risposta seguono quelli definiti negli algoritmi dei sistemi lineari quantistici: un primer (Dervovic, Herbster, Mountney, Severini, Usher & Wossnig, 2018) . Di seguito è riportato un richiamo.

1.1 Nomi dei registri

I nomi dei registri sono definiti nella Figura 5. degli algoritmi dei sistemi lineari quantistici: un primer (Dervovic, Herbster, Mountney, Severini, Usher & Wossnig, 2018) (riprodotto di seguito):

• $S$ (1 qubit) è il registro ancilla utilizzato per verificare se l'output è valido o meno.
• $C$ ( qubit) è il registro di clock, cioè il registro utilizzato per stimare gli autovalori dell'hamiltoniano con la stima della fase quantistica (QPE).$n$
• m A x = b x S | 1 $I$ ( qubit) è il registro che memorizza il lato destro dell'equazione . Memorizza , il risultato dell'equazione, quando viene misurato come alla fine dell'algoritmo.$m$$Ax = b$$x$$S$$\left|1\right>$

2. Informazioni su :$\left|\Psi_0\right>$

1. Che cosa è esattamente ?$\left|\Psi_0\right>$

   $\left|\Psi_0\right>$ è una possibile stato iniziale del registro orologio .$C$

2. Cosa significano e ?$T$$\tau$

   T | Ψ 0 ⟩ T | Ψ 0 ⟩ T 2 n$T$ sta per un grande numero intero positivo. Questo dovrebbe essere il più grande possibile perché l'espressione di minimizza asintoticamente un dato errore per cresce all'infinito. Nell'espressione di , sarà , il numero di stati possibili per l'orologio quantum .$T$$\left|\Psi_0\right>$$T$$\left|\Psi_0\right>$$T$$2^n$$C$

   $\tau$ è solo l'indice di somma

3. Perché un'espressione così gigantesca per ?$\left|\Psi_0\right>$

   Vedi il post di DaftWullie per una spiegazione dettagliata.

   Seguendo le citazioni dell'algoritmo Quantum per i sistemi lineari di equazioni (Harrow, Hassidim & Lloyd, 2009 v3) finiamo con:

   1. La versione precedente dello stesso algoritmo Quantum per sistemi di equazioni lineari (Harrow, Hassidim & Lloyd, 2009 v2) . Gli autori hanno rivisto il documento 2 volte (ci sono 3 versioni del documento originale HHL) e la versione n ° 3 non include tutte le informazioni fornite nelle versioni precedenti. Nel V2 (sezione A.3. A partire da pagina 17), gli autori forniscono un'analisi dettagliata dell'errore con questo stato iniziale speciale.
   2. Orologi quantici ottimali (Buzek, Derka, Massar, 1998) in cui l'espressione di è data come nell'equazione 10. Non ho le conoscenze per comprendere appieno questa parte, ma sembra che questa espressione sia "ottimale" in un certo senso.| Ψ o p t$\left|\Psi_0\right>$$\left|\Psi_{opt}\right>$

3. Preparazione di :$\left|\Psi_0\right>$

Come detto nella parte precedente, è uno stato iniziale. Non si preparano dopo la procedura di stima della fase. L'ordinamento delle frasi non è davvero ottimale sulla carta. La procedura di stima di fase che usano nel documento è un po 'diversa dall'algoritmo di stima di fase "classico" rappresentato nel circuito quantico collegato nella parte 1, ed è per questo che lo spiegano in dettaglio.| Ψ 0 $\left|\Psi_0\right>$$\left|\Psi_0\right>$

Il loro algoritmo di stima di fase è:

1. Preparare la Stato nel registro .$\left|\Psi_0\right>$$C$
2. Applicare l'evoluzione hamiltoniana condizionale ai registri e (che si trovano nello stato ).I | Ψ 0 ⟩ ⊗ | b $C$$I$$\left|\Psi_0\right>\otimes \left|b\right>$
3. Applicare la trasformata quantistica di Fourier allo stato risultante.

Infine, la in significa che lo stato è memorizzato nel registro . Questa è una notazione breve e conveniente per tenere traccia dei registri utilizzati.| Ψ 0 ⟩ C | Ψ 0 ⟩$C$$\left| \Psi_0 \right>^C$$\left| \Psi_0 \right>$$C$

4. Simulazione hamiltoniana:

Prima di tutto, è il numero di condizionamento ( pagina di Wikipedia su "numero di condizionamento" ) della matrice .$\kappa$$A$

$\sum_{\tau = 0}^{T-1}|\tau\rangle \langle \tau|^{C}\otimes e^{iA\tau t_0/T}$ è la rappresentazione matematica di una porta quantistica.

La prima parte della somma è una parte di controllo. Significa che l'operazione sarà controllata dallo stato del primo registro quantico (il registro come ci dice l'esponente).$|\tau\rangle \langle \tau|^{C}$$C$

La seconda parte è la porta "Simulazione hamiltoniana", cioè una porta quantistica che applicherà la matrice unitaria data da al secondo registro (il registro che si trova nello stato iniziale ).$e^{iA\tau t_0/T}$$I$$\left|b\right>$

L'intera somma è la rappresentazione matematica dell'operazione U controllata nel circuito quantico di "1. Definizioni", con .$U = e^{iA\tau t_0/T}$

$\newcommand{\bra}[1]{\left\langle#1\right|}\newcommand{\ket}[1]{\left|#1\right\rangle}\newcommand{\proj}[1]{|#1\rangle\langle#1|}\newcommand{\half}{\frac12}$ In risposta alla tua prima domanda, qualche tempo fa mi sono scritto alcune note sulla mia comprensione di come ha funzionato. La notazione è probabilmente un po 'diversa (ho provato a metterla di più in linea, ma è facile perdere bit), ma tenta di spiegare quella scelta dello stato . Sembrano esserci anche alcuni fattori di fluttua in alcuni punti.$|\Psi_0\rangle$$\frac12$

Quando studiamo per la prima volta la stima della fase, di solito ci pensiamo rispetto all'uso in alcuni algoritmi particolari, come l'algoritmo di Shor. Questo ha un obiettivo specifico: ottenere la migliore approssimazione -bit sull'autovalore. O lo fai o non lo fai, e la descrizione della stima di fase è specificamente sintonizzata per dare il più alta probabilità di successo possibile.$t$

In HHL, stiamo provando a produrre un po 'di stato dove , facendo uso della stima di fase. La precisione dell'approssimazione di questo dipenderà in modo molto più critico da una stima accurata degli autovalori vicini a 0 piuttosto che a quelli lontani da 0. Un passo ovvio quindi è tentare di modificare il protocollo di stima di fase in modo che piuttosto piuttosto che usare `bin 'di larghezza fissa per approssimare le fasi di ( e è il numero di qubit nel registro di stima delle fasi), potremmo piuttosto specificare un insieme di per

$$\ket{\phi}=\sum_j\frac{\beta_j}{\lambda_j}\ket{\lambda_j},$$ $\ket{b}=\sum_j\beta_j\ket{\lambda_j}$$2\pi/T$$e^{-iAt}$$T=2^t$$t$$\phi_y$$y\in\{0,1\}^t$ fungere da centro di ogni cestino in modo da poter avere una precisione notevolmente maggiore vicino alla fase 0. Più in generale, è possibile specificare una funzione di compromesso per quanto si possa tollerare gli errori in funzione della fase . La natura precisa di questa funzione può quindi essere regolata su una data applicazione e sulla particolare figura di merito che userete per determinare il successo. Nel caso dell'algoritmo di Shor, la nostra figura di merito era semplicemente questo protocollo di binning: avremmo avuto successo se la risposta fosse nel cestino corretto e senza successo al di fuori di esso. Questo non sarà il caso di HHL, il cui successo è più ragionevolmente catturato da una misura continua come la fedeltà. Quindi, per il caso generale, designeremo una funzione di costo$\phi$$C(\phi,\phi')$che specifica una penalità per le risposte se la fase vera è .$\phi'$$\phi$

Ricordiamo che il protocollo di stima di fase standard ha funzionato producendo uno stato di input che era la sovrapposizione uniforme di tutti gli stati di base per . Questo stato è stato utilizzato per controllare l'applicazione sequenziale di più porte controllate , che sono seguite da una trasformata inversa di Fourier. Immagina di poter sostituire lo stato di input con qualche altro stato e quindi il resto del protocollo potrebbe lavorare come prima. Per ora, ignoreremo la questione di quanto sia difficile produrre il nuovo stato , poiché stiamo solo cercando di trasmettere il concetto di base. A partire da questo stato, l'uso della controllata$\ket{x}$$x\in\{0,1\}^t$$U$

$$\ket{\Psi_0}=\sum_{x\in\{0,1\}^t}\alpha_x\ket{x},$$ $\ket{\Psi_0}$$U$gates (indirizzato a un autovettore di di autovalore ), produce lo stato Applicando la trasformata inversa di Fourier si ottiene La probabilità di ottenere una risposta (cioè ) è quindi il valore atteso della funzione di costo, ipotizzando una distribuzione casuale di , è $U$$\phi$ $$\sum_{x\in\{0,1\}^t}\alpha_xe^{i\phi x}\ket{x}.$$ $$\frac{1}{\sqrt{T}}\sum_{x,y\in\{0,1\}^t}e^{ix\left(\phi-\frac{2\pi y}{M}\right)}\alpha_x\ket{y}.$$ $y$$\phi'=2\pi y/T$ $$\frac{1}{T}\left|\sum_{x\in\{0,1\}^t}e^{ix\left(\phi-\frac{2\pi y}{T}\right)}\alpha_x\right|^2$$ $\phi$ $$\bar C=\frac{1}{2\pi T}\int_0^{2\pi}d\phi\sum_{y\in\{0,1\}^t}\left|\sum_{x\in\{0,1\}^t}e^{ix\left(\phi-\frac{2\pi y}{T}\right)}\alpha_x\right|^2C(\phi,2\pi y/T),$$ e il nostro compito è selezionare le ampiezze che minimizzano questo per qualsiasi realizzazione specifica di . Se assumiamo la semplificazione che è solo una funzione di , allora possiamo fare un cambiamento di variabile nell'integrazione per dare Come abbiamo notato, è probabile che la misura più utile sia una misura di fedeltà. Considera che abbiamo uno stato$\alpha_x$$C(\phi,\phi')$$C(\phi,\phi')$$\phi-\phi'$ $$\bar C=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}d\phi\left|\sum_{x\in\{0,1\}^t}e^{ix\phi}\alpha_x\right|^2C(\phi),$$ $\ket{+}$e desideriamo implementare l'unità , ma invece implementiamo . La fedeltà misura il modo in cui questo raggiunge il compito desiderato, quindi prendiamo poiché nel caso ideale , quindi l'errore, che è ciò che vogliamo minimizzare, può essere preso come . Questa sarà sicuramente la funzione corretta per valutare qualsiasi$U_\phi=\proj{0}+e^{i\phi}\proj{1}$$U_{\phi'}=\proj{0}+e^{i\phi'}\proj{1}$ $$F=\left|\bra{+}U_{\phi'}^\dagger U\ket{+}\right|^2=\cos^2\left(\frac{\phi-\phi'}{2}\right),$$ $$C(\phi-\phi')=\sin^2\left(\frac{\phi-\phi'}{2}\right),$$ $F=1$$1-F$$U^t$, ma per il compito più generale di modificare le ampiezze, non solo le fasi, gli effetti delle imprecisioni si propagano attraverso il protocollo in modo meno banale, quindi è difficile dimostrare l'ottimalità, sebbene la funzione fornirà già un certo miglioramento rispetto alla sovrapposizione uniforme degli Stati. Procedendo con questo modulo, abbiamo ora è possibile eseguire l'integrale over , quindi vogliamo ridurre al minimo la funzione Questo può essere brevemente espresso come $C(\phi-\phi')$ $$\bar C=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}d\phi\left|\sum_{x\in\{0,1\}^t}e^{ix\phi}\alpha_x\right|^2\sin^2\left(\half\phi\right),$$ $\phi$ $$\half\sum_{x,y=0}^{T-1}\alpha_x\alpha_y^\star(\delta_{x,y}-\half\delta_{x,y-1}-\half\delta_{x,y+1}).$$ $$\min\bra{\Psi_0}H\ket{\Psi_0}$$ dove La scelta ottimale di è l'autovettore minimo della matrice , e è l'autovalore minimo Fondamentalmente, per le grandi scale , come anziché che avremmo ottenuto dalla scelta di accoppiamento uniforme $$H=\half\sum_{x,y=0}^{T-1}(\delta_{x,y}-\half\delta_{x,y-1}-\half\delta_{x,y+1})\ket{x}\bra{y}.$$ $\ket{\Psi_0}$$H$ ˉ C ˉ C = $$\alpha_x=\sqrt{\frac{2}{T+1}}\sin\left(\frac{(x+1)\pi}{T+1}\right),$$ $\bar C$T ˉ C 1/T21/Tαx=1/ $$\bar C=\half-\half\cos\left(\frac{\pi}{T+1}\right).$$ $T$$\bar C$$1/T^2$$1/T$$\alpha_x=1/\sqrt{T}$. Ciò produce un vantaggio significativo per l'analisi degli errori.

Se vuoi ottenere lo stesso come riportato nel documento HHL, credo che tu debba aggiungere i termini all'Hamiltoniano. Non ho alcuna giustificazione per farlo, tuttavia, ma questo è probabilmente il mio fallimento.- $|\Psi_0\rangle$$-\frac14\left(\ket{0}\bra{T-1}+\ket{T-1}\bra{0}\right)$