Come implementare una matrice esponenziale in un circuito quantico?

Forse è una domanda ingenua, ma non riesco a capire come esponere effettivamente una matrice in un circuito quantico. Supponendo di avere una matrice quadrata generica A , se voglio ottenere il suo esponenziale, , posso usare la serie $e^{A}$

e^{A} ≃ I + A + \frac{A^{2}}{2!} + \frac{A^{3}}{3!} + . . .

$e^{A} \simeq I+ A+\frac{A^2}{2!}+\frac{A^3}{3!}+...$

Per avere la sua approssimazione. Non capisco come fare lo stesso usando le porte quantistiche, quindi ad esempio applicarlo per eseguire una simulazione hamiltoniana. Qualche aiuto?

— FSic
fonte

Non è chiaro se si sta parlando di un circuito quantistico che accetta come input ed emette o simulazione Hamiltoniana (cioè costruisce un circuito la cui matrice unitaria corrisponde a ).

A

$A$

e^{A}

$e^A$

e^{i A}

$e^{iA}$

— Nelimee,

Colpa mia; quello che volevo dire è che, presa una matrice A, voglio avere nel mio circuito il suo esponenziale, .

e^{i A}

$e^{iA}$

— FSic,

Riformulare la tua domanda:

Come eseguire la simulazione hamiltoniana per una matrice quadrata generica ? $A$

Risposta rapida : non è possibile.

L'obiettivo di Hamiltonian Simulation (HS) è trovare un circuito quantico (cioè una successione di gate) che agisce come su uno stato quantico. Qui deve essere unitario (a causa delle proprietà delle porte quantistiche) e quindi anche deve essere unitario. $U(t) = e^{-iAt}$ $U(t)$ $e^{-iAt}$

Quindi l'algoritmo HS è applicabile solo alle matrici tale che sia unitario. Ogni matrice eremita soddisfa questa proprietà, ma non tutte . A seconda del problema, questa limitazione può essere o meno un problema ma non è possibile utilizzare HS se non è unitario. $A$ $e^{-iAt}$ generic square matrix $e^{-iAt}$

Ad esempio per l' algoritmo HHL (che usa HS di come subroutine) con un sistema , se non è unitario, puoi invece considerare il problema risolvilo con HHL (che è ora possibile perché la nuova matrice è eremitica) e recupera . $A$ $Ax=b$ $e^{-iAt}$

C y = (\begin{matrix} 0 & A \\ A^{†} & 0 \end{matrix}) (\begin{matrix} 0 \\ x \end{matrix}) = (\begin{matrix} b \\ 0 \end{matrix}),

$Cy = \begin{pmatrix} 0 & A \\ A^\dagger & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ x\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}b \\ 0\end{pmatrix},$

C

$C$

x

$x$

Quindi la domanda interessante è ora:

Come eseguire la simulazione hamiltoniana per una data matrice eremita ? $A$

E la risposta dipenderà dalle proprietà di . $A$

Questo è un enorme argomento di ricerca e ci sono molte cose da dire al riguardo. Non presenterò qui tutti i metodi poiché sono piuttosto complicati e non li ho capiti tutti. Ecco un elenco di articoli / presentazioni che sono correlati a HS e che potrebbero essere interessanti iniziare con HS:

Simulazione della dinamica hamiltoniana su un piccolo computer quantistico : diapositive su HS. Anche se è una presentazione, questa è la fonte più completa che ho trovato su Hamiltonian Simulation. Presenta rapidamente 3 metodi diversi e cita documenti interessanti per ciascun metodo.
Appunti delle lezioni sugli algoritmi quantistici (Andrew M. Childs, 2017) : recenti e piuttosto completi. HS è discusso nel capitolo 25 (pagina 123).
Miglioramento esponenziale della precisione per la simulazione di hamiltoniani sparsi : presenta in dettaglio uno dei 3 metodi presentati in 1.
Algoritmi quantistici efficienti per la simulazione di hamiltoniani sparsi : presenta in dettaglio un altro dei 3 metodi presentati in 1.

— Nelimee
fonte

Grazie, soprattutto per i riferimenti, li darò un'occhiata!

— FSic,

Ti consiglio di iniziare con il primo riferimento. È il più completo e fornisce link ad altri articoli. Per me (punto di vista personale), la prima tecnica che utilizza la formula Trotter-Suzuki è la più comprensibile. Ma potrebbe non essere lo stesso per te!

— Nelimee,

Ogni matrice eremita soddisfa questa proprietà : più specificamente, tutte e solo le matrici hermitiane hanno questa proprietà

— glS