Se l'accelerazione quantistica è dovuta alla natura ondulatoria della meccanica quantistica, perché non usare solo onde regolari?

L'intuizione che ho per il motivo per cui il calcolo quantistico può funzionare meglio del calcolo classico è che la natura ondulatoria delle funzioni d'onda consente di interferire su più stati di informazione con una singola operazione, che teoricamente potrebbe consentire un aumento esponenziale.

Ma se è davvero solo un'interferenza costruttiva di stati complicati, perché non eseguire questa interferenza solo con le onde classiche?

E a tale proposito, se la figura di merito è semplicemente in pochi passaggi in cui qualcosa può essere calcolato, perché non iniziare con un complicato sistema dinamico in cui è incorporato il calcolo desiderato. (es. perché non creare semplicemente "simulatori analogici" per problemi specifici?)

La tua affermazione principale secondo cui la matematica delle onde imita quella della meccanica quantistica è quella giusta. In effetti, molti dei pionieri della QM erano soliti chiamarla meccanica delle onde per questo preciso motivo. Quindi è naturale chiedere "Perché non possiamo fare il calcolo quantistico con le onde?".

La risposta breve è che la meccanica quantistica ci consente di lavorare con uno spazio di Hilbert esponenzialmente ampio spendendo solo risorse polinomiali. Cioè, lo spazio degli stati di qubit è uno spazio di Hilbert di 2 n dimensioni.$n$$2^n$

Non si può costruire uno spazio di Hilbert esponenzialmente ampio da polinomialmente molte risorse classiche. Per capire perché questo è il caso, esaminiamo due diversi tipi di computer basati sulla meccanica delle onde.

Il primo modo per costruire un tale computer sarebbe quello di prendere numero di sistemi classici a due livelli. Ogni sistema quindi da solo potrebbe essere rappresentato da uno spazio Hilbert 2D. Ad esempio, si potrebbero immaginare n corde di chitarra con solo le prime due armoniche eccitate.$n$$n$

Questa configurazione non sarà in grado di imitare il calcolo quantistico perché non vi è alcun entanglement. Pertanto, qualsiasi stato del sistema sarà uno stato del prodotto e il sistema combinato di corde di chitarra non può essere utilizzato per creare uno spazio di Hilbert di 2 n dimensioni.$n$$2^n$

Il secondo modo in cui si potrebbe tentare di costruire uno spazio Hilbert esponenzialmente ampio è quello di utilizzare una singola puntura di chitarra e identificare le sue prime armoniche con i vettori di base dello spazio Hilbert. Questo viene fatto nella risposta di @DaftWullie. Il problema con questo approccio è che la frequenza dell'armonica più alta che deve eccitare per far sì che ciò accada si ridimensionerà come O ( 2 n ) . E poiché l'energia di una stringa vibrante si ridimensiona in modo quadratico con la sua frequenza, avremo bisogno di una quantità esponenziale di energia per eccitare la stringa. Quindi, nel peggiore dei casi, il costo energetico del calcolo può ridimensionarsi esponenzialmente con la dimensione del problema.$2^n$$O(2^n)$

Quindi il punto chiave qui è che i sistemi classici mancano di intreccio tra parti fisicamente separabili. E senza entanglement, non possiamo costruire spazi di Hilbert esponenzialmente grandi con spese generali polinomiali.

Io stesso descrivo spesso la fonte del potere della meccanica quantistica come dovuta a "interferenze distruttive", vale a dire la natura ondulatoria della meccanica quantistica. Dal punto di vista della complessità computazionale, è chiaro che questa è una delle caratteristiche più importanti e interessanti del calcolo quantistico, come osserva Scott Aronson (per esempio) . Ma quando lo descriviamo in questo modo molto breve - che "il potere del calcolo quantistico è nell'interferenza distruttiva / la natura ondulatoria della meccanica quantistica" - è importante notare che questo tipo di affermazione è una scorciatoia, e necessariamente incompleto.

Ogni volta che fai una dichiarazione sul "potere" o "il vantaggio" di qualcosa, è importante tenere a mente: rispetto a cosa ? In questo caso, ciò a cui stiamo confrontando è un calcolo specificamente probabilistico: e ciò che abbiamo in mente non è solo che "qualcosa" si comporta come un'onda, ma specificamente che qualcosa che è come una probabilità si comporta come un'onda.

Va detto che la probabilità stessa, nel mondo classico, agisce già un po 'come un'onda: in particolare, obbedisce a una sorta di Principio di Huygen (che puoi capire la propagazione delle probabilità delle cose sommando i contributi dalle singole iniziali condizioni - o in altre parole, secondo un principio di sovrapposizione ). La differenza, ovviamente, è che la probabilità non è negativa e quindi può solo accumularsi e la sua evoluzione sarà essenzialmente una forma di diffusione. Il calcolo quantistico riesce a mostrare un comportamento ondoso con ampiezze probabilistiche, che possono essere non positive; e così è possibile vedere interferenze distruttive di queste ampiezze.

In particolare, poiché le cose che agiscono come onde sono cose come le probabilità, lo "spazio di frequenza" in cui si evolve il sistema può essere esponenziale nel numero di particelle coinvolte nel calcolo. Questo tipo generale di fenomeno è necessario se si desidera ottenere un vantaggio rispetto al calcolo convenzionale: se lo spazio di frequenza si ridimensionasse polinomialmente con il numero di sistemi e l'evoluzione stessa obbedisse a un'equazione d'onda, gli ostacoli alla simulazione con i computer classici sarebbero più facili da superare. Se volevi considerare come ottenere simili vantaggi computazionali con altri tipi di onde, devi chiederti come intendi spremere in una quantità esponenziale di "frequenze" o "modalità" distinguibili in uno spazio di energia limitato.

Infine, in termini pratici, esiste una questione di tolleranza agli errori. Un altro effetto collaterale del comportamento simile a un'onda che si manifesta con fenomeni simili alla probabilità è che è possibile eseguire la correzione degli errori testando le parità o, più in generale, i corsi di formazione grossolana delle distribuzioni marginali. Senza questa funzione, il calcolo quantistico sarebbe essenzialmente limitato a una forma di calcolo analogico, utile per alcuni scopi ma limitato al problema della sensibilità al rumore. Non abbiamo ancora calcoli quantistici tolleranti ai guasti nei sistemi informatici costruiti, ma sappiamo che è possibile in linea di principio e ci stiamo puntando; mentre non è chiaro come si possa ottenere una cosa simile con le onde d'acqua, per esempio.

Alcune delle le altre risposte toccare in questa stessa caratteristica della meccanica quantistica: 'dualità onda-particella' è un modo per esprimere il fatto che abbiamo qualcosa probabilistico circa il comportamento delle singole particelle che vengono agiscono come le onde, e osservazioni circa la scalabilità / ne deriva esponenzialmente lo spazio di configurazione. Ma alla base di queste descrizioni di livello leggermente superiore c'è il fatto che abbiamo ampiezze quantistiche, che si comportano come elementi di una distribuzione di probabilità multi-variabile, che si evolve linearmente con il tempo e si accumula ma che può essere sia negativo che positivo.

Ciò che rende la meccanica delle onde quantiche diversa dalla classica è che l'onda è definita su uno spazio di configurazione con un numero enorme di dimensioni. Nella meccanica quantistica universitaria non relativistica (che è abbastanza buona per una discussione teorica del calcolo quantistico), un sistema di particelle di punto senza spinte nello spazio 3D è descritto da un'onda in R 3 n , che per n = 2 non ha già un analogo in classico meccanica. Tutti gli algoritmi quantistici lo sfruttano. Potrebbe essere possibile sfruttare la meccanica delle onde classiche per migliorare alcuni calcoli (calcolo analogico), ma non usando algoritmi quantistici.$n$$\mathbb{R}^{3n}$$n=2$

$\{0,1\}$$\mathbb{R}^3$$n$$n$$2^n$$2^n$

Non pretendo di avere una risposta completa (ancora! Spero di aggiornarlo, poiché è un problema interessante provare a spiegare bene). Vorrei iniziare con alcuni commenti chiarificatori ...

Ma se è davvero solo un'interferenza costruttiva di stati complicati, perché non eseguire questa interferenza solo con le onde classiche?

La risposta glib è che non è solo interferenza. Penso che ciò che si riduce davvero è che la meccanica quantistica usa diversi assiomi di probabilità (ampiezze di probabilità) per la fisica classica, e questi non sono riprodotti nello scenario delle onde.

$L$

$^*$$\{A_n\}$

$^*$

$\{A_n\}$

Questo potrebbe essere un modo per vedere la differenza (o almeno dirigersi nella giusta direzione). Esiste un modo per eseguire il calcolo quantistico basato su calcolo quantistico basato su misura. Preparate il vostro sistema in uno stato particolare (che, abbiamo già concordato, potremmo fare con i nostri bit-w), e quindi misurate i diversi qubit. La scelta della base di misurazione determina il calcolo. Ma non possiamo farlo qui perché non abbiamo quella scelta di base.

E a tale proposito, se la figura di merito è semplicemente in pochi passaggi in cui qualcosa può essere calcolato, perché non iniziare con un complicato sistema dinamico in cui è incorporato il calcolo desiderato. (es. perché non creare semplicemente "simulatori analogici" per problemi specifici?)

$H$$t_0$$e^{iHt_0}$$2H$$t_0$$t_0/2$$H$

$H$$e^{-iHt_0}$

Le onde regolari possono interferire, ma non possono essere intrappolate.
Un esempio di una coppia intricata di qubit, che non può accadere con le onde classiche, è dato nella prima frase della mia risposta a questa domanda: qual è la differenza tra un insieme di qubit e un condensatore con una piastra suddivisa?

L'entanglement è considerato la cosa cruciale che offre ai computer quantistici un vantaggio rispetto a quelli classici, poiché la sovrapposizione da sola può essere simulata da un computer classico probabilistico (cioè un computer classico più una gettoniera).

"perché non eseguire semplicemente questa interferenza con le onde classiche?"

Sì, questo è un modo in cui possiamo simulare computer quantistici su normali computer digitali. Simuliamo le "onde" usando l'aritmetica in virgola mobile. Il problema è che non si ridimensiona. Ogni qubit raddoppia il numero di dimensioni. Per 30 qubit hai già bisogno di circa 8 gigabyte di RAM solo per memorizzare il vettore di stato "wave" aka. A circa 40 qubit finiamo i computer abbastanza grandi per farlo.

Una domanda simile è stata posta qui: qual è la differenza tra un insieme di qubit e un condensatore con una piastra suddivisa?