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^{Nota sul vocabolario: la parola "hamiltoniana" è usata in questa domanda per parlare di matrici eremitiche.}

L'algoritmo HHL sembra essere un soggetto attivo di ricerca nel campo dell'informatica quantistica, principalmente perché risolve un problema molto importante che sta trovando la soluzione di un sistema lineare di equazioni.

Secondo l' algoritmo originale Quantum per la risoluzione di sistemi lineari di equazioni (Harrow, Hassidim & Lloyd, 2009) e alcune domande poste su questo sito

Stima della fase quantistica e algoritmo HHL: sono richieste conoscenze sugli autovalori?
Algoritmo quantistico per sistemi lineari di equazioni (HHL09): Fase 2 - Preparazione degli stati iniziali $\vert \Psi_0 \rangle$ e $\vert b \rangle$

l'algoritmo HHL è limitato ad alcuni casi specifici. Ecco un riassunto (che potrebbe essere incompleto!) Delle caratteristiche dell'algoritmo HHL:

Algoritmo HHL

L'algoritmo HHL risolve un sistema lineare dell'equazione

A | x ⟩ = | b ⟩

$A \vert x \rangle = \vert b \rangle$ con le seguenti limitazioni:

Limitazioni su $A$ :

$A$ deve essere eremita (e funziona solo la matrice hermitiana, vediquesta discussione nella chat).
autovalori esigenze 's di essere in (vediQuantum fase di stima e HHL algoritmo -? Conoscenza autovalori richieste) $A$ $[0,1)$
deve essere implementabile in modo efficiente. Al momento le uniche matrici conosciute che soddisfano questa proprietà sono:
- hamiltoniani locali (vedi Universal Quantum Simulator (Lloyd, 1996) ).
- sparse hamiltonians (vediAdiabatic Quantum State Generation e Statistical Zero Knowledge (Aharonov & Ta-Shma, 2003)). $s$

Limitazioni su : $\vert b \rangle$

dovrebbe essere efficientemente essere preparati. Questo è il caso di:
1. Espressioni specifiche di . Ad esempio lo stato $\vert b \rangle$ è efficacemente preparabile. $| b ⟩ = ⨂_{i = 0}^{n} (\frac{| 0 ⟩ + | 1 ⟩}{\sqrt{2}})$ $\vert b \rangle = \bigotimes_{i=0}^{n} \left( \frac{\vert 0 \rangle + \vert 1 \rangle}{\sqrt{2}} \right)$
2. che rappresenta la discretizzazione di una distribuzione di probabilità in modo efficiente integrabile (vediCreazione di sovrapposizioni che corrispondono a distribuzioni di probabilità in modo efficiente integrabili (Grover & Rudolph, 2002)). $\vert b \rangle$

Limitazioni su (uscita): $\vert x \rangle$

non possono essere recuperati completamente mediante misurazione. Le uniche informazioni che possiamo recuperare da è un "informazioni di carattere generale" ( "valore atteso" è il termine impiegato nel documento originale HHL) come $\vert x \rangle$ $\vert x \rangle$ $⟨ x | M | x ⟩$ $\langle x\vert M\vert x \rangle$

Domanda: Tenendo conto di tutte queste limitazioni e immaginando che siamo nel 2050 (o forse nel 2025, chi lo sa?) Con chip quantici su larga scala tolleranti ai guasti (cioè non siamo limitati dall'hardware), quali problemi del mondo reale potrebbe risolvere l'algoritmo HHL (compresi i problemi in cui HHL è utilizzato solo come subroutine)?

Sono a conoscenza del documento Analisi delle risorse concrete dell'algoritmo del sistema lineare quantistico utilizzato per calcolare la sezione trasversale di dispersione elettromagnetica di un target 2D (Scherer, Valiron, Mau, Alexander, van den Berg e Chapuran, 2016) e della corrispondente implementazione in il linguaggio di programmazione Quipper e sto cercando altri esempi reali in cui HHL sarebbe applicabile nella pratica. Non ho bisogno di un documento pubblicato, nemmeno di un documento inedito, voglio solo avere alcuni esempi di casi d'uso reali .

MODIFICARE:

Anche se sono interessato a ogni caso d'uso, preferirei alcuni esempi in cui l'HHL viene utilizzato direttamente, ovvero non utilizzato come subroutine di un altro algoritmo.

Sono ancora più interessato agli esempi di sistemi lineari risultanti dalla discretizzazione di un operatore differenziale che potrebbe essere risolto con HHL.

Vorrei sottolineare ancora una volta che sono interessato a tutti i casi d'uso (subroutine o meno) che conosci .

algorithm hhl-algorithm applications

— Nelimee
fonte

Dici che vuoi alcuni esempi in cui HHL è "usato direttamente". Non sono molto chiaro su cosa intendi con questo. Conosco alcuni algoritmi (che possono potenzialmente avere usi pratici) in cui HHL è uno dei passaggi principali, ma sicuramente non è l' unico passaggio. Qualcosa come riconoscere le sequenze genetiche usando l'HHL come uno dei passaggi principali (soggetti a tutti i vincoli che hai citato), sarebbe una risposta adatta? Le altre fasi principali riguardano principalmente la simulazione hamiltoniana e la preparazione dello stato.

— Sanchayan Dutta,

Vorrei preferirei alcuni esempi in cui viene utilizzato direttamente HHL. Significa che il problema può essere formulato direttamente come un sistema lineare di equazione da risolvere. Questo è il caso della risoluzione di equazioni differenziali: discretizziamo l'equazione e risolviamo il problema discretizzato che è il più delle volte un sistema lineare sparso. Ma altri esempi sono i benvenuti.

— Nelimee,

5

Un paio di anni fa è stato dimostrato negli algoritmi Quantum e nel metodo degli elementi finiti da Montanaro e Pallister che l'algoritmo HHL poteva essere applicato al metodo degli elementi finiti (FEM) che è una "tecnica per trovare in modo efficiente approssimazioni numeriche alle soluzioni di valore al contorno problemi (BVP) per equazioni differenziali parziali, basate sulla discretizzazione dello spazio dei parametri tramite una mesh finita " .

Dimostrarono che in questo contesto l'HHL poteva essere usato per ottenere (forse al massimo) uno speedup polinomiale rispetto all'algoritmo classico standard (il "metodo del gradiente coniugato").

Per quanto riguarda i casi d'uso del mondo reale, lo affermano

$n$

Questo apre un'intera area di potenziali casi d'uso per HHL (presupponendo condizioni sulla scarsità di $A$

— SLesslyTall
fonte

2

M

$M$

M

$M$

s

$s$

s = 3

$s=3$

0

Rebentrost et al. recentemente ha usato l'algoritmo HHL09 nel suo documento A Quantum Hopfield Neural Network (2018) , per l'ottimizzazione della funzione energetica della rete Hopfield .

$E = -\frac{1}{2}x^{T}Wx + \theta^Tx$ $Px - x^{\text{(inc)}} = 0$ ) è:

L = - \frac{1}{2} X^{T} W X + θ^{T} X - λ^{T} (P X - X^{(Inc)}) + \frac{γ}{2} X^{T} X

$\mathcal{L} = -\frac{1}{2}x^{T}Wx + \theta^Tx - \lambda^T (Px - x^{\text{(inc)}}) + \frac{\gamma}{2}x^T x$ quindi le equazioni di ottimizzazione

\frac{\partial L}{\partial x} = 0

$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x} = 0$ e

\frac{\partial L}{\partial λ} = 0

$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \lambda} = 0$ può essere scritto nel modulo

A v = w

$A \mathbf{v} = \mathbf{w}$ . Si noti che il

γ

$\gamma$ nell'espressione è il parametro di regolarizzazione. Dobbiamo trovare

v

$\mathbf{v}$ che estremizza l'energia della rete soggetta al vincolo

P x = x^{(inc)}

$Px = x^{(\text{inc})}$ e quindi, abbiamo bisogno di una tecnica di inversione di matrice. Nel documento hanno fatto esattamente questo e per l'inversione della matrice hanno utilizzato l'algoritmo HHL09. Vedi pagina 4 del documento.

In short, I believe that once we have quantum computers with a sufficiently large number of qubits and decoherence time, the HHL algorithm is going to be one of the most useful subroutines for any quantum machine learning algorithm (since almost all machine learning and neural network algorithms involve some form of "gradient descent" or "optimization").

— Sanchayan Dutta
fonte

Quali potrebbero essere le possibili applicazioni future per l'algoritmo HHL?

Algoritmo HHL

Limitazioni su AAA :

Limitazioni su :|b⟩|b⟩\vert b \rangle

Limitazioni su (uscita):|x⟩|x⟩\vert x \rangle

Limitazioni su $A$ :

Limitazioni su : $\vert b \rangle$

Limitazioni su (uscita): $\vert x \rangle$