Vantaggio di simulare hamiltoniani sparsi

Nella risposta di @ DaftWullie a questa domanda ha mostrato come rappresentare in termini di porte quantistiche la matrice utilizzata come esempio in questo articolo . Tuttavia, credo sia improbabile che matrici così ben strutturate in esempi di vita reale, quindi stavo cercando di esaminare altri metodi per simulare un hamiltoniano. Ho trovato in diversi articoli un riferimento a questo di Aharonov e Ta-Shma in cui, tra le altre cose, affermano che è possibile avere qualche vantaggio nella simulazione di hamiltoniani sparsi . Dopo aver letto l'articolo, tuttavia, non ho capito come si potesse eseguire la simulazione di hamiltoniani sparsi. Il problema è di solito presentato come una colorazione del grafico, ma anche guardando la presentazione che @Nelimee ha suggerito di leggere per studiare l'espiazione della matrice, tutto ciò cade nella silmulazione attraverso la formula del prodotto.

Per fare un esempio, prendiamo una matrice casuale come:

questo non è un eremita, ma usando il suggerimento di Harrow, Hassidim e Lloyd possiamo costruire una matrice eremitica partendo da essa:

A = [\begin{matrix} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 8 & 5 & 0 & 6 \\ 0 & 0 & 7 & 0 \\ 0 & 5 & 3 & 4 \end{matrix}];

$A = \left[\begin{matrix} 2 & 0 & 0 & 0\\ 8 & 5 & 0 & 6\\ 0 & 0 & 7 & 0\\ 0 & 5 & 3 & 4 \end{matrix}\right];$

C = [\begin{matrix} 0 & A \\ A^{†} & 0 \end{matrix}] = [\begin{matrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 8 & 5 & 0 & 6 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 7 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 5 & 3 & 4 \\ 2 & 8 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 0 & 5 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 7 & 3 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & 0 & 4 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}] .

$C = \left[ \begin{matrix} 0 & A\\ A^{\dagger} & 0 \end{matrix} \right] = \left[\begin{matrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 8 & 5 & 0 & 6\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 7 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 5 & 3 & 4\\ 2 & 8 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 5 & 0 & 5 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 7 & 3 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & 0 & 4 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{matrix}\right].$

Ora che ho una matrice hermitiana 8x8, 2-sparse:

Posso simularne l'evoluzione in altri modi rispetto al metodo della formula del prodotto?
Anche se utilizzo la formula del prodotto, come posso sfruttare il fatto che sia scarsa? È solo perché ci sono meno voci diverse da zero e quindi dovrebbe essere più facile trovare il prodotto delle porte di base?

algorithm matrix-representation hamiltonian-simulation

— FSic
fonte

L'intuizione che suggerisce che le matrici sparse siano utili va sulla falsariga di: per qualsiasi , possiamo scomporla in termini di un insieme di cui singoli componenti sono tutti pendolari (rendendo semplice la diagonalizzazione), Se la matrice è scarsa, allora non si dovrebbe bisogno di troppi distinta . Quindi è possibile simulare l'evoluzione hamiltoniana $H$ $H_i$

H = \sum_{i = 1}^{m} H_{i} .

$H=\sum_{i=1}^mH_i.$

H_{i}

$H_i$

dove

. Ad esempio, nel tuo caso, puoi avere

e^{- i H t} = \prod_{j = 1}^{N} e^{- i H_{m} δ t} e^{- i H_{m - 1} δ t} \dots e^{- i H_{1} δ t},

$e^{-iHt}=\prod_{j=1}^Ne^{-iH_m\delta t}e^{-iH_{m-1}\delta t}\ldots e^{-iH_{1}\delta t},$

t = N δ t

$t=N\delta t$

(i 3 termini corrispondenti al fatto che è un hamiltoniano sparsa 3). Credo che ci sia una strategia qui: attraversi tutti gli elementi della matrice diversi da zero del tuo hamiltoniano e li raggruppi in modo che se scrivo le loro coordinate come

(e includo sempre la loro complessa coppia coniugata), continuo ad aggiungere altri elementi del mio set

non hanno fornito né

né

uguale a

H_{1} = \frac{1}{4} X \otimes (18 I - 6 Z \otimes Z - 4 Z \otimes I) H_{2} = \frac{1}{4} (X \otimes (11 I + 5 Z) \otimes X + Y \otimes (11 I + 5 Z) \otimes Y) H_{3} = \frac{1}{4} (11 X \otimes X - Y \otimes Y) \otimes (I - Z)

$H_1=\frac14 X\otimes(18\mathbb{I}-6Z\otimes Z-4Z\otimes\mathbb{I}) \\ H_2=\frac14(X\otimes(11\mathbb{I}+5Z)\otimes X+Y\otimes(11\mathbb{I}+5Z)\otimes Y)\\ H_3=\frac14(11X\otimes X-Y\otimes Y)\otimes(\mathbb{I}-Z)$

(i, j)

$(i,j)$

(k, l)

$(k,l)$

k

$k$

l

$l$

i

$i$ o

.. Questo avrebbe significato per un

-sparse Consente di Hamilton, si ha

diversa

j

$j$

m

$m$

m

$m$

H_{i}

$H_i$

Il problema è che questo non funziona necessariamente in modo diretto nella pratica. Per prima cosa, ci sono ancora molti elementi matrice in modo esponenziale che devi attraversare, ma sarà sempre così per il modo in cui lo stai impostando.

$f(j,l)$ $l^{th}$ $j^{th}$

$\alpha_i$

H = \sum_{i} α_{i} U_{i}

$H=\sum_i\alpha_iU_i$

H = U_{1} + α U_{2}

$H=U_1+\alpha U_2$

U_{1}

$U_1$

U_{2}

$U_2$

V = | 0 ⟩ ⟨ 0 | \otimes U_{1} + | 1 ⟩ ⟨ 1 | \otimes U_{2}

$V=|0\rangle\langle 0|\otimes U_1+|1\rangle\langle 1|\otimes U_2$

| 0 ⟩ + \sqrt{α} | 1 ⟩

$|0\rangle+\sqrt{\alpha}|1\rangle$

V

$V$

| 0 ⟩ + \sqrt{α} | 1 ⟩

$|0\rangle+\sqrt{\alpha}|1\rangle$

U_{1} + α U_{2}

$U_1+\alpha U_2$

(1 - α)^{2} / (1 + α)^{2}

$(1-\alpha)^2/(1+\alpha)^2$

— DaftWullie
fonte

Solo 2 cose che non ho capito: 1) cosa intendi quando dici che includi sempre le coppie coniugate complesse? 2) La conoscenza della posizione fornita dall'oracolo dovrebbe aiutarci in che modo? Aiutandoci a determinare l'insieme di unitari che rappresentano l'Hamiltoniano decomposto?

— FSic

@ F.Siciliano (2) La conoscenza dell'oracolo aiuta perché ti permette di lavorare solo attraverso gli elementi diversi da zero della matrice invece di dover passare attraverso ogni elemento della matrice per scoprire quali sono diversi da zero.

— DaftWullie,

H

$H$

h_{i j}

$h_{ij}$

(j, i)

$(j,i)$

h_{i j}^{*}

$h_{ij}^*$

h_{i}

$h_i$