Algoritmo quantistico per il numero di Dio

Il numero di Dio è il peggior caso dell'algoritmo di Dio che è

un'idea che nasce dalle discussioni sui modi per risolvere il puzzle del cubo di Rubik, ma che può essere applicato anche ad altri puzzle combinatori e giochi matematici. Si riferisce a qualsiasi algoritmo che produce una soluzione con il minor numero di mosse possibili, con l'idea che un essere onnisciente conoscerebbe un passo ottimale da una data configurazione.

Il calcolo del numero di Dio su 20 ha richiesto "35 anni CPU di tempo di inattività (classico) del computer".

Che tipo di accelerazione potrebbe essere raggiunta con un approccio quantistico?

— meowzz
fonte

Il "numero di Dio" per i puzzle combinatori è correlato al diametro del grafico simile a Cayley, ovvero il percorso più piccolo più piccolo nel grafico. Non credo che il problema generalizzato al

puzzle è in

. Non ho studiato questo documento - arxiv.org/abs/quant-ph/0303131 - ma penso che rivendichi un Grover-speedup sul classico.

n \times n \times n

$n\times n \times n$

N P

$\mathsf{NP}$

— Segna il

@mark s chat.stackexchange.com/rooms/81283/quantum

— meowzz

Potresti porre una domanda come questa per qualsiasi cosa difficile da calcolare. Questo non sembra essere molto costruttivo. Perché pensi che questo specifico problema possa interessare gli algoritmi quantistici?

— Norbert Schuch,

@Norbert Schuch I cubo e calcolo quantistico. È un problema davvero interessante per me (e penso a chiunque sia interessato all'ottimizzazione combinatoria quantistica).

— Meowzz,

Vedi anche mathoverflow.net/questions/77836/… da un sito affiliato .

— Segna il

Possiamo pensare di Rubik cubo Cayley grafico con ciascuna (colorato) bordo essendo uno dei Singmaster mosse e ciascun vertice è una delle diverse configurazioni del $\Gamma=(V,E)$ $E$ $\langle U,U^{2},U^{3}=U^{-1},D,D^{2},D^{3},\cdots\rangle$ $V$ $43252003274489856000\approx 4.3e{19}$ cubetti. $3\times 3\times 3$

Il diametro di un grafico è il percorso più corto più lungo nel grafico. L'algoritmo classico per determinare il diametro è polinomiale in ; vedi, ad esempio, questa risposta da un sito affiliato. $\vert V \vert$

Come accennato in precedenza, il numero di Dio è (correlato a) questo diametro; per conoscere il percorso più breve tra i vertici per un grafico di Cayley su un gruppo, è sufficiente sapere quanti passi si trova dallo stato risolto. Sappiamo, grazie a Rokicki, Kociemba, Davidson e Dethridge, tra gli altri, che il numero di Dio è . Gli algoritmi che hanno eseguito erano polinomiali in , ad es. polinomio in . $20$ $\vert V\vert$ $4.3e{19}$

Algoritmo quantistico di Heiligman per diametro grafo, indicato nei commenti, raggiunge un'accelerazione Grover su algoritmi di Djikstra, con "un costo quantum totale di ." Tuttavia, credo che Heiligman codifichi il grafico come farebbe un algoritmo classico; ad es. con qubit . Chiaramente se quindi questo non sarebbe d'aiuto. $O(|V|^{9/4})$ $O(|V|)$ $|V|=4.3e{19}$

Invece, un altro modo per codificare un cubo di Rubik, come accennato nelle altre domande, è ovviamente quello di preparare una sovrapposizione uniforme su tutti gli stati . Questo richiede solo qubit. $4.3e{19}$ $\log 4.3e{19}$

Gli algoritmi quantistici sono bravi a parlare di "autovalori", "autovettori" e "autovalori". Applicare tutti i movimenti di Singmaster a una sovrapposizione uniforme di tutti gli stati non cambia lo stato; cioè la sovrapposizione uniforme è un'autostrada della catena di Markov sul grafico di Cayley. $4.3e{19}$

Esistono relazioni tra il diametro di un grafico e gli autovalori / autovettori della corrispondente adiacenza / matrice laplaciana, in particolare il gap spettrale, la distanza tra i due autovalori più grandi ( ). Una rapida ricerca su Google di "autovalore del diametro" produce questo ; Consiglio di esplorare ricerche simili su Google. $\lambda_1-\lambda_2$

Le lacune spettrali sono esattamente ciò che limita l' algoritmo adiabatico . Quindi, forse conoscendo la velocità con cui un algoritmo adiabatico deve correre per evolversi dal superpositon uniforme allo stato risolto per vari sottogruppi / sottospazi del gruppo cubo di Rubik, si potrebbe stimare il gap spettrale e usarlo per limitare il numero di Dio. Ma sono rapidamente fuori dalla mia portata qui e dubito che sia possibile ottenere qualsiasi senso di precisione.

— Mark S
fonte

3 < n

$3<n$

18

$18$

6

$6$

n \times n

$n\times n$

τ_{n}

$\tau_n$

τ_{n}

$\tau_n$

λ_{2}

$\lambda_2$

δ

$\delta$

λ_{2}

$\lambda_2$

δ

$\delta$

Quando si legge la risposta non è ancora del tutto chiaro "Che tipo di accelerazione potrebbe essere raggiunta con un approccio quantistico?".

— JanVdA,

@JanVdA Grazie per il tuo commento. Non ho mai affermato di conoscere tutti i dettagli per la risposta alla domanda in grassetto. Ho semplicemente cercato di dare un feedback su approcci che potrebbero valere la pena esplorare di più e anche di contrastare leggermente un altro commento nella domanda. Inoltre, qualcuno è stato molto accogliente per una domanda simile da parte mia.

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