Perché non può esserci un errore nella correzione del codice con meno di 5 qubit?

Recentemente ho letto dei codici di correzione degli errori a 9 qubit, 7 qubit e 5 qubit. Ma perché non può esserci un errore quantico che corregge il codice con meno di 5 qubit?

Una prova che hai bisogno di almeno 5 qubit (o qudits)

Ecco una prova che qualsiasi codice di correzione di errori quantici a correzione di singoli errori ( cioè distanza 3) ha almeno 5 qubit. In realtà, questo si generalizza a qudit di qualsiasi dimensione $d$ , e qualsiasi errore quantico che corregge il codice che protegge uno o più qudit di dimensione $d$ .

(Come osserva Felix Huber , la prova originale che richiede almeno 5 qubit è dovuta all'articolo Knill - Laflamme [ arXiv: quant-ph / 9604034 ] che definisce le condizioni Knill - Laflamme: la seguente è la tecnica di prova che è più comunemente usato al giorno d'oggi.)

Qualsiasi errore quantistica codice di correzione che può correggere $t$ errori sconosciuti, può anche correggere fino a $2t$ errori cancellazione (dove abbiamo semplicemente perdiamo un po 'qubit, o se questo viene completamente depolarizzata, o simili) se si conoscono le posizioni dei qubit cancellati. [1 secondo. III A] *. Leggermente più in generale, un errore quantico che corregge il codice della distanza $d$ può tollerare errori di cancellazione $d-1$ . Ad esempio, mentre il $[\![4,2,2]\!]$ codice non è in grado di correggere alcun errore, in sostanza perché può dire che si è verificato un errore (e anche a quale tipo di errore) ma non a quale qubit è successo, quello stesso codice può proteggere da un singolo errore di cancellazione (perché per ipotesi sappiamo esattamente dove si verifica l'errore in questo caso).

$n \geqslant 2$$n-2$$2$$n<5$$2 \geqslant n-2$$n \geqslant 5$

Sulla correzione degli errori di cancellazione

* Il primo riferimento che ho trovato per questo è

[1] Grassl, Beth e Pellizzari.
      Codici per il canale di cancellazione quantistica .
      Phys. Rev. A 56 (pagg. 33–38), 1997.
      [ arXiv: quant-ph / 9610042 ]

- che non è molto tempo dopo che le condizioni di Knill – Laflamme sono state descritte in [ arXiv: quant-ph / 9604034 ] e quindi plausibilmente la prova originale della connessione tra distanza del codice ed errori di cancellazione. Lo schema è il seguente e si applica alla correzione degli errori dei codici di distanza (e si applica ugualmente bene ai qudit di qualsiasi dimensione al posto dei qubit, usando operatori di Pauli generalizzati).$d$

• La perdita di qubit può essere modellata dal fatto che quei qubit sono soggetti al canale completamente depolarizzante, che a sua volta può essere modellato da quei qubit essendo soggetti a errori Pauli uniformemente casuali.$d-1$

• Se le posizioni di quei qubit fossero sconosciute, ciò sarebbe fatale. Tuttavia, poiché le loro posizioni sono note, qualsiasi errore Pauli di coppia sui qubit può essere distinto l'uno dall'altro, facendo appello alle condizioni di Knill-Laflamme.$d-1$$d-1$

• Pertanto, sostituendo i qubit cancellati con qubit nello stato di massima miscelazione e testando gli errori di Pauli su quegli specifici qubit (che richiedono una procedura di correzione diversa da quella utilizzata per correggere errori di Pauli arbitrari, sia chiaro), è possibile recuperare il stato originale.$d-1$

Ciò che possiamo facilmente dimostrare è che non esiste un codice non degenerato più piccolo .

In un codice non degenerato, devi avere i 2 stati logici del qubit e devi avere uno stato distinto per ogni possibile errore in cui mappare ciascuno stato logico. Quindi, supponiamo che tu abbia un codice a 5 qubit, con i due stati logici $|0_L\rangle$ e $|1_L\rangle$ . L'insieme dei possibili errori a singolo qubit sono $X_1,X_2,\ldots X_5,Y_1,Y_2,\ldots,Y_5,Z_1,Z_2,\ldots,Z_5$ , e significa che tutti gli stati

$$|0_L\rangle,|1_L\rangle,X_1|0_L\rangle,X_1|1_L\rangle,X_2|0_L\rangle,\ldots$$ devono mappare stati ortogonali.

Se applichiamo questo argomento in generale, ci mostra che abbiamo bisogno di

$$2+2\times(3n)$$ stati distinti. Ma, per $n$ qubit, il numero massimo di stati distinti è $2^n$ . Quindi, per un errore non degenerato, correggere il codice di distanza 3 (ovvero correggere per almeno un errore) o maggiore, abbiamo bisogno di $$2^n\geq 2(3n+1).$$ Questo si chiama Quantum Hamming Bound. Puoi facilmente verificare che ciò sia vero per tutti $n\geq 5$ , ma non se $n<5$. In effetti, per $n=5$ , la disuguaglianza è un'uguaglianza, e di conseguenza chiamiamo il codice a 5 qubit corrispondente il codice perfetto come risultato.

Come complemento dell'altra risposta, aggiungerò il limite generale di Hamming per i codici quantici di correzione degli errori non degeneri. La formulazione matematica di tale limite è

$$\begin{equation} 2^{n-k}\geq\sum_{j=0}^t\pmatrix{n\\j}3^j, \end{equation}$$ dove $n$ riferisce al numero di qubit che formano le parole in codice, $k$ è il numero di qubit di informazioni che sono codificati (quindi sono protetti dalla decoerenza) e $t$ è il numero di errori $t$ -qubit corretti dal codice. Poiché $t$ è correlato alla distanza di $t = \lfloor\frac{d-1}{2}\rfloor$, tale codice quantico non degenerato sarà uncodice di correzione dell'errore quantico$[[n,k,d]]$. Questo limite si ottiene usando un argomento simile a una sfera, in modo che lospazio di Hilbert a$2^n$dimensioni sia suddiviso in$2^{n-k}$spazi ciascuno distinto dalla sindrome misurata, quindi viene assegnato un errore a ciascuna delle sindromi e l'operazione di recupero viene eseguita invertendo l'errore associato a tale sindrome misurata. Ecco perché il numero di errori totali corretti da un codice quantico non degenerato dovrebbe essere inferiore o uguale al numero di partizioni dalla misurazione della sindrome.

Tuttavia, la degenerazione è una proprietà dei codici quantici di correzione degli errori che implicano il fatto che ci sono classi di equivalenza tra gli errori che possono influenzare le parole in codice inviate. Ciò significa che ci sono errori il cui effetto sulle parole in codice trasmesse è lo stesso condividendo la stessa sindrome. Ciò implica che tali classi di errori degeneri vengono corretti tramite la stessa operazione di recupero e quindi è possibile correggere più errori previsti. Questo è il motivo per cui non è noto se il limite quantico di Hamming valga per questi codici di correzione degli errori degenerati, poiché in questo modo è possibile correggere più errori rispetto alle partizioni. Fare riferimento a questa domanda per alcune informazioni sulla violazione del limite quantico di Hamming.

Volevo aggiungere un breve commento al primo riferimento. Credo che ciò sia già stato mostrato un po 'prima nella Sezione 5.2 del

A Theory of Quantum Error-Correcting Codes
Emanuel Knill, Raymond Laflamme 
https://arxiv.org/abs/quant-ph/9604034

dove il risultato specifico è:

Teorema 5.1. A $(2^r,k)$ codice quantico di correzione dell'error $e$ deve soddisfare $r \geqslant 4e + \lceil \log k \rceil$ .

$(N,K)$$K$$N$$e$$e$$(2^n, 2^k)$ $e$$[\![n,k,2e\:\!{+}1]\!]$$k \geqslant 1$$d \geqslant 3$$[\![n,k,d]\!]$

$$\begin{aligned} n \;&\geqslant\; 4\bigl\lceil\tfrac{d-1}{2}\bigr\rceil + \lceil \log 2^k \rceil \\[1ex]&\geqslant\; \bigl\lceil 4 \cdot \tfrac{d-1}{2} \bigr\rceil + \lceil k \rceil \\[1ex]&=\; 2d - 2 + k \;\geqslant\; 6 - 2 + 1 \;=\; 5. \end{aligned}$$

(N.B. There is a peculiarity with the dates here: the arxiv submission of above paper is April 1996, a couple of months earlier than Grassl, Beth, and Pellizzari paper submitted in Oct 1996. However, the date below the title in the pdf states a year earlier, April 1995.)

As an alternative proof, I could imagine (but haven't tested yet) that simply solving for a weight distribution that satisfies the Mac-Williams Identities should also suffice. Such a strategy is indeed used

Quantum MacWilliams Identities
Peter Shor, Raymond Laflamme
https://arxiv.org/abs/quant-ph/9610040

to show that no degenerate code on five qubits exists that can correct any single errors.